Question

11．設(shè)M（x₀，y₀）是直線l：mx+ny+p=0（m²+n²≠0）外一定點，且點M到直線l的距離是d，試證明：d=$\frac{|mx_0+ny_0+P|}{\sqrt{m^2+n^2}}$．

Answer 1

分析 線l與x軸、y軸相交，過M點分別作x軸、y軸的平行線，交直線l于A、B，設(shè)A（t₁，y₀），B（x₀，t₂），由于A、B在直線l上．mt₁+ny₀+p=0，mx₀+nt₂+p=0，可得：A，B坐標(biāo)，利用三角形面積公式得：$\frac{1}{2}d|AB|$=$\frac{1}{2}$|AM||BM|，即可證明．當(dāng)m=0時，或當(dāng)n=0時，上式也成立．

解答 證明：①線l與x軸、y軸相交，過M點分別作x軸、y軸的平行線，交直線l于A、B，
設(shè)A（t₁，y₀），B（x₀，t₂），由于A、B在直線l上
∴mt₁+ny₀+p=0，mx₀+nt₂+p=0，
可得：A$（-\frac{n{y}_{0}+p}{m}，{y}_{0}）$，B$（{x}_{0}，-\frac{m{x}_{0}+p}{n}）$，
|AM|=$|-\frac{n{y}_{0}+p}{m}-{x}_{0}|$=$\frac{|m{x}_{0}+n{y}_{0}+p|}{|m|}$，|BM|=$|-\frac{n{y}_{0}+p}{n}-{y}_{0}|$=$\frac{|m{x}_{0}+n{y}_{0}+p|}{|n|}$，
|AB|=$\sqrt{|AM{|}^{2}+|BM{|}^{2}}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{|mn|}$|mx₀+ny₀+p|．
由三角形面積公式得：$\frac{1}{2}d|AB|$=$\frac{1}{2}$|AM||BM|，∴d=$\frac{|AM||BM|}{|AB|}$=$\frac{|m{x}_{0}+n{y}_{0}+p|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$．
②當(dāng)m=0時，直線l的方程為：y=-$\frac{p}{n}$，d=$|-\frac{p}{n}-{y}_{0}|$=$\frac{|n{y}_{0}+p|}{|n|}$=$\frac{|m{x}_{0}+n{y}_{0}+p|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$．
③同理當(dāng)n=0時，上式也成立．
綜上：d=$\frac{|mx_0+ny_0+P|}{\sqrt{m^2+n^2}}$．

點評 本題考查了點到直線的距離公式的證明，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．