Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$，其中a為常數(shù)．
（1）若a=1，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若函數(shù)$f（x）=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在其定義域上是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷．
（2）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程關系進行求解即可．

解答 解：（1）當a=1時，$f（x）=\frac{{1-{e^x}}}{{1+{e^x}}}$，其定義域為R．
此時對任意的x∈R，都有$f（-x）=\frac{{1-{e^{-x}}}}{{1+{e^{-x}}}}=\frac{{{e^x}-1}}{{{e^x}+1}}=-\frac{{1-{e^x}}}{{1+{e^x}}}=-f（x）$
所以函數(shù)f（x）在其定義域上為奇函數(shù)．
（2）若函數(shù)$f（x）=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在其定義域上是奇函數(shù)，則對定義域內(nèi)的任意x，
有：$f（-x）=\frac{{a-{e^{-x}}}}{{1+a{e^{-x}}}}=\frac{{a{e^x}-1}}{{{e^x}+a}}=-f（x）=\frac{{{e^x}-a}}{{1+a{e^x}}}$
整理得：a²e^2x-1=e^2x-a²，即：e^2x（a²-1）=1-a²對定義域內(nèi)的任意x都成立．
所以a²=1
當a=1時，$f（x）=\frac{{1-{e^x}}}{{1+{e^x}}}$，定義域為R；
當a=-1時，$f（x）=\frac{{-1-{e^x}}}{{1-{e^x}}}=\frac{{{e^x}+1}}{{{e^x}-1}}$，定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）．
所以實數(shù)a的值為a=1或a=-1．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，利用函數(shù)奇偶性的定義建立方程關系是解決本題的關鍵．