Question

2．已知圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=1+sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），直線l平行于x軸，且過點(diǎn)（0，3），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x鈾的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程及直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)O的直線1₁交圓C于O，A，交直線l于B，求|OA|•|OB|的值．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可得出．
（II）設(shè)直線l₁的方程為：my=x，分別與直線y=3及其圓的方程聯(lián)立解出交點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．

解答 解：（I）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=1+sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），化為直角坐標(biāo)方程：x²+（y-1）²=1，化為x²+y²-2y=0．
可得極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
由直線l平行于x軸，且過點(diǎn)（0，3），可得參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=3}\end{array}\right.$，（t∈R）．
（II）設(shè)直線l₁的方程為：my=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x}\\{y=3}\end{array}\right.$，解得B（3m，3）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{2m}{1+{m}^{2}}，\frac{2}{1+{m}^{2}}）$．
∴|OA|•|OB|=$\sqrt{9{m}^{2}+9}$•$\sqrt{（\frac{2m}{1+{m}^{2}}）^{2}+（\frac{2}{1+{m}^{2}}）^{2}}$
=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、曲線的交點(diǎn)、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．