Question

13．生于瑞士的數(shù)學(xué)巨星歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個(gè)定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半．”這就是著名的歐拉線定理．設(shè)△ABC中，設(shè)O、H、G分別是外心、垂心和重心，下列四個(gè)選項(xiàng)錐誤的是（　�。�

• A． HG=2OG
• B． $\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$
• C． 設(shè)BC邊中點(diǎn)為D，則有AH=3OD
• D． S_△ABG=S_△BCG=S_△ACG

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，利用歐拉線定理得出選項(xiàng)A正確；
根據(jù)三角形的重心性質(zhì)得出選項(xiàng)B正確；
根據(jù)△AHG∽△DOG，判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
求出S_△BGC=S_△AGC=S_△AGB=$\frac{1}{3}$S_△ABC，判斷選項(xiàng)D正確．

解答 解：△ABC中，O、H、G分別是外心、垂心和重心，
畫出圖形，如圖所示；
對(duì)于A，根據(jù)歐拉線定理得HG=2OG，選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，根據(jù)三角形的重心性質(zhì)得$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，∵AH∥OD，∴△AHG∽△DOG，∴$\frac{AH}{OD}$=$\frac{AG}{DG}$=2，∴AH=2OD，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)G作GE⊥BC，垂足為E，則$\frac{GE}{AN}$=$\frac{DG}{DA}$=$\frac{1}{3}$，
∴△BGC的面積為S_△BGC=$\frac{1}{2}$×BC×GE=$\frac{1}{2}$×BC×$\frac{1}{3}$×AN=$\frac{1}{3}$S_△ABC；
同理，S_△AGC=S_△AGB=$\frac{1}{3}$S_△ABC，選項(xiàng)D正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形中的重心，外心與垂心的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分析問(wèn)題與解答問(wèn)題的能力，是綜合性題目