Question

3．為了解某地臍橙種植情況，調(diào)研小組在該地某臍橙種植園中隨機抽出30棵，每棵掛果情況編成如圖所示的莖葉圖（單位：個）：若掛果在175個以上（包括175）定義為“高產(chǎn)”，掛果在175個以下（不包括175）定義為“非高產(chǎn)”．
（1）如果用分層抽樣的方法從“高產(chǎn)”和“非高產(chǎn)”中抽取5棵，再從這5棵中選2棵，那么至少有一棵是“高產(chǎn)”的概率是多少？
（2）用樣本估計總體，若從該地所有臍橙果樹（有較多果樹）中選3棵，用ξ表示所選3棵中“高產(chǎn)”的個數(shù)，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)莖葉圖，有“高產(chǎn)”12棵，“非高產(chǎn)”18棵，用分層抽樣的方法，選中的“高產(chǎn)”有2棵，“非高產(chǎn)”有3棵，由此能求出至少有一棵是“高產(chǎn)”的概率．
（2）依題意，從所有臍橙果樹中抽取一棵是“高產(chǎn)”的概率是$\frac{2}{5}$，ξ服從二項分布$B（3，\frac{2}{5}）$，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）根據(jù)莖葉圖，有“高產(chǎn)”12棵，“非高產(chǎn)”18棵，
用分層抽樣的方法，每棵被抽中的概率是$\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$…（2分）
所以選中的“高產(chǎn)”有$12×\frac{1}{6}=2$棵，“非高產(chǎn)”有$18×\frac{1}{6}=3$棵，
用事件A表示至少有一棵“高產(chǎn)”被選中，
則$P（A）=1-\frac{C_3^2}{C_5^2}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$，
因此至少有一棵是“高產(chǎn)”的概率是$\frac{7}{10}$．…（4分）
（2）依題意，抽取30棵中12棵是“高產(chǎn)”，
所以抽取一棵是“高產(chǎn)”的頻率為$\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$…（5分）
頻率當(dāng)作概率，那么從所有臍橙果樹中抽取一棵是“高產(chǎn)”的概率是$\frac{2}{5}$，
又因為所取總體數(shù)量較多，抽取3棵可看成進行3次獨立重復(fù)試驗，
所以ξ服從二項分布$B（3，\frac{2}{5}）$…（6分）
ξ的取值為0，1，2，3，
$P（ξ=0）=C_3^0{（1-\frac{2}{5}）^3}=\frac{27}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}•\frac{2}{5}•（1-\frac{2}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（1-\frac{2}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
$P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{2}{5}）^3}=\frac{8}{125}$…（9分）
所以ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…（11分）
所以$Eξ=0×\frac{27}{125}+1×\frac{54}{125}+2×\frac{36}{125}+3×\frac{8}{125}=\frac{6}{5}$．…（12分）

點評 本題考查莖葉圖、分層抽樣的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的合理運用．