Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)的周期公式可求f（x）的最小正周期，由2k$π-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z即可解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinα+cosα=$\frac{1}{2}$，兩邊平方利用二倍角公式即可求得sin2α的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈R．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$，
由2k$π-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z即可解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[2k$π-\frac{3π}{4}$，2k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（α）=sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴解得：sinα+cosα=$\frac{1}{2}$，兩邊平方可得：1+sin2α=$\frac{1}{4}$，
∴sin2α=-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的周期公式，二倍角公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．