Question

1．直線l：（2a-1）x-（a+3）y-（a-11）=0（a∈R）交x軸正半軸于點A，y軸正半軸于點B，當(dāng)三角形AOB（O為坐標(biāo)原點）面積最小時a的值為-1．

Answer 1

分析 由題意可得直線l經(jīng)過定點M（2，3），可得$\frac{2}{m}$+$\frac{3}{n}$=1≥2$\sqrt{\frac{2}{m}•\frac{3}{n}}$，求得mn的最小值，從而求得三角形AOB的面積的最小值．

解答 解：直線l：（2a-1）x-（a+3）y-（a-11）=0，即a（2x-y-1）+（-x-3y+11）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{-x-3y+11=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，可得直線l經(jīng)過定點M（2，3）．
由于直線l交x軸正半軸于點A（m，0），y軸正半軸于點B（0，n，），m＞0，n＞0．
則由點M在直線l上，可得$\frac{2}{m}$+$\frac{3}{n}$=1≥2$\sqrt{\frac{2}{m}•\frac{3}{n}}$，求得mn≥24，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}{m}$=$\frac{3}{n}$=$\frac{1}{2}$時，取等號．
即當(dāng)m=4，n=6時，三角形AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$mn的最小值為12，
此時，直線l：（2a-1）x-（a+3）y-（a-11）=0，即$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{6}$=1，即：3x+2y-12=0，
∴$\frac{2a-1}{3}$=$\frac{-（a+3）}{2}$=$\frac{a-11}{12}$，∴a=-1，
故答案為：-1．

點評 本題主要考查直線經(jīng)過定點問題，直線的截距式方程，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．