分析 由題意可得直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(2,3),可得$\frac{2}{m}$+$\frac{3}{n}$=1≥2$\sqrt{\frac{2}{m}•\frac{3}{n}}$,求得mn的最小值,從而求得三角形AOB的面積的最小值.
解答 解:直線l:(2a-1)x-(a+3)y-(a-11)=0,即a(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{-x-3y+11=0}\end{array}\right.$,求得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$,可得直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(2,3).
由于直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A(m,0),y軸正半軸于點(diǎn)B(0,n,),m>0,n>0.
則由點(diǎn)M在直線l上,可得$\frac{2}{m}$+$\frac{3}{n}$=1≥2$\sqrt{\frac{2}{m}•\frac{3}{n}}$,求得mn≥24,當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}{m}$=$\frac{3}{n}$=$\frac{1}{2}$時(shí),取等號(hào).
即當(dāng)m=4,n=6時(shí),三角形AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$mn的最小值為12,
此時(shí),直線l:(2a-1)x-(a+3)y-(a-11)=0,即$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{6}$=1,即:3x+2y-12=0,
∴$\frac{2a-1}{3}$=$\frac{-(a+3)}{2}$=$\frac{a-11}{12}$,∴a=-1,
故答案為:-1.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,直線的截距式方程,基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.
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