1.直線l:(2a-1)x-(a+3)y-(a-11)=0(a∈R)交x軸正半軸于點(diǎn)A,y軸正半軸于點(diǎn)B,當(dāng)三角形AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積最小時(shí)a的值為-1.

分析 由題意可得直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(2,3),可得$\frac{2}{m}$+$\frac{3}{n}$=1≥2$\sqrt{\frac{2}{m}•\frac{3}{n}}$,求得mn的最小值,從而求得三角形AOB的面積的最小值.

解答 解:直線l:(2a-1)x-(a+3)y-(a-11)=0,即a(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{-x-3y+11=0}\end{array}\right.$,求得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$,可得直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(2,3).
由于直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A(m,0),y軸正半軸于點(diǎn)B(0,n,),m>0,n>0.
則由點(diǎn)M在直線l上,可得$\frac{2}{m}$+$\frac{3}{n}$=1≥2$\sqrt{\frac{2}{m}•\frac{3}{n}}$,求得mn≥24,當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}{m}$=$\frac{3}{n}$=$\frac{1}{2}$時(shí),取等號(hào).
即當(dāng)m=4,n=6時(shí),三角形AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$mn的最小值為12,
此時(shí),直線l:(2a-1)x-(a+3)y-(a-11)=0,即$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{6}$=1,即:3x+2y-12=0,
∴$\frac{2a-1}{3}$=$\frac{-(a+3)}{2}$=$\frac{a-11}{12}$,∴a=-1,
故答案為:-1.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,直線的截距式方程,基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

20.將函數(shù)f(x)=5sin(3x-$\frac{π}{6}$)的周期擴(kuò)大為原來(lái)的2倍,再將新函數(shù)的圖象向右平移$\frac{π}{3}$,則所得函數(shù)的解析式為y=5sin($\frac{3}{2}$x-$\frac{2π}{3}$).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知B(-3,3$\sqrt{3}$),C(3,-3$\sqrt{3}$),且H(x,y)是曲線x2+y2=1上任意一點(diǎn),則$\overline{BH}$•$\overline{CH}$的值為-35.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

18.已知tanα=-2,則2cosαsinα=-$\frac{4}{5}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

5.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=4.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

6.在△ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知a=3,c=5,B=2A.
(1)求b的值;
(2)求cosC的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

13.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,${a_{n+1}}={(\sqrt{a_n}+3)^2}$,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(3n-2)2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

10.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,O為AC與BD的交點(diǎn),E為棱PB上一點(diǎn),證明:平面EAC⊥平面PBD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.已知函數(shù)f(x)=sin(x+$\frac{π}{4}$),x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)若f(α)=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,求sin2α的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案