Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x+2|-|2x-2|
（1）解不等式f（x）≥-2；
（2）設(shè)g（x）=x-a，對(duì)任意x∈[a，+∞）都有g(shù)（x）≥f（x），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）≥-2，通過(guò)當(dāng)x≤-2時(shí)，當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，當(dāng)x≥1時(shí)，去掉絕對(duì)值分別求解即可．
（2）畫(huà)出$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x-4，x≤-2}\\{3x，-2＜x＜1}\\{-x+4，x≥1}\end{array}}\right.$的圖象，通過(guò)對(duì)a≤-2，a＞-2，判斷求解即可．

解答 解：（1）f（x）≥-2，
當(dāng)x≤-2時(shí)，x-4≥-2，即x≥2，∴x∈∅；
當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，3x≥-2，即$x≥-\frac{2}{3}$，∴$-\frac{2}{3}≤x＜1$
當(dāng)x≥1時(shí)，-x+4≥-2，即x≤6，∴1≤x≤6

綜上，{x|$-\frac{2}{3}≤x＜6$}                …（5分）
（2）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x-4，x≤-2}\\{3x，-2＜x＜1}\\{-x+4，x≥1}\end{array}}\right.$
函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：
∵g（x）=x-a，-a表示直線的縱截距，當(dāng)直線過(guò)（1，3）點(diǎn)時(shí)，-a=2；
∴當(dāng)-a≥2，即a≤-2時(shí)成立；                                  …（8分）
當(dāng)-a＜2，即a＞-2時(shí)，令-x+4=x-a，得$x=2+\frac{a}{2}$，
∴a≥2+$\frac{a}{2}$，即a≥4時(shí)成立，綜上a≤-2或a≥4．         …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的圖象以及分段函數(shù)，絕對(duì)值表達(dá)式的解法，考查分類討論數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．