Question

13．已知兩點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，0），B（-$\sqrt{2}$，0），點(diǎn)P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)p作y軸的垂線，垂足為Q，且$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{P{Q}^{2}}$，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x²-y²=2．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，得到$\overrightarrow{PA}、\overrightarrow{PQ}、\overrightarrow{PB}$的坐標(biāo)，代入$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{P{Q}^{2}}$得答案．

解答 解：如圖，

設(shè)P（x，y），則Q（0，y），
∵A（$\sqrt{2}$，0），B（-$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{PA}=（\sqrt{2}-x，-y），\overrightarrow{PB}=（-\sqrt{2}-x，-y）$，$\overrightarrow{PQ}=（-x，0）$．
由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{P{Q}^{2}}$，得$（\sqrt{2}-x，-y）•（-\sqrt{2}-x，-y）=2{x}^{2}$，
∴x²-2+y²=2x²，
即x²-y²=2．
故答案為：x²-y²=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，訓(xùn)練了平面向量在求解軌跡方程中的用法，是中檔題．