Question

17．若非零向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角為鈍角，|$\overrightarrow$|=2，且當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時，|$\overrightarrow$-t$\overrightarrow{a}$|取最小值$\sqrt{3}$．向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$），則當(dāng)$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$取最大值時，|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$|等于（　�。�

• A． $\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 $|\overrightarrow-t\overrightarrow{a}{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}（t-\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow{a}}^{2}}）^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$-$\frac{（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$，根據(jù)當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時，|$\overrightarrow$-t$\overrightarrow{a}$|取最小值$\sqrt{3}$．可得$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，$4-\frac{（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=3，解得$|\overrightarrow{a}|$=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-2，可得$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{2π}{3}$．不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（2，0），$\overrightarrow{c}$=（x，y）．根據(jù)向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$），可得（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）=0，可得$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3．令$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=x+$\sqrt{3}$y=t．當(dāng)上述直線與圓相切時，可得t=$2±2\sqrt{3}$，取t=2+2$\sqrt{3}$時，$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$取最大值．直線方程與圓的方程聯(lián)立解得（x，y），即可得出．

解答 解：$|\overrightarrow-t\overrightarrow{a}{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}{t}^{2}$-$2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}（t-\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow{a}}^{2}}）^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$-$\frac{（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$，
∵當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時，|$\overrightarrow$-t$\overrightarrow{a}$|取最小值$\sqrt{3}$．
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，$4-\frac{（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=3，
解得$|\overrightarrow{a}|$=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-2，
∴$2×2×cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=-2，
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=-$\frac{1}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{2π}{3}$．
不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（2，0），$\overrightarrow{c}$=（x，y）．
向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$），
∴（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）=（x-2，y）•（x+1，$y-\sqrt{3}$）
=（x-2）（x+1）+y（y-$\sqrt{3}$）
=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$-3=0，
∴$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3．（*）
$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=（x，y）•（1，$\sqrt{3}$）=x+$\sqrt{3}$y．
令t=x+$\sqrt{3}$y．
當(dāng)上述直線與（*）相切時，$\frac{|\frac{1}{2}+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-t|}{2}$=$\sqrt{3}$，解得
t=$2±2\sqrt{3}$，
取t=2+2$\sqrt{3}$時，$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$取最大值．
此時聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=2+2\sqrt{3}}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$=$（\frac{-3+\sqrt{3}}{2}，\frac{3+\sqrt{3}}{2}）$．
|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}-3}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}+3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積的定義及其運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．