Question

6．已知圓柱的底面半徑為4，用與圓柱底面成30°角的平面截這個(gè)圓柱得到一個(gè)橢圓，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率．

Answer 1

分析 根據(jù)圓柱的直徑算出橢圓的短軸長，再由二面角的平面角等于30°，利用三角函數(shù)定義可算出橢圓的長軸．由此求截面橢圓的方程，進(jìn)一步求出橢圓的離心率．

解答 解：∵圓柱的底面半徑為4，∴橢圓的短軸2b=8，得b=4，
又∵橢圓所在平面與圓柱底面所成角為30°，
∴cos30°=$\frac{8}{2a}$，得$a=\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
以AB所在直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{64}{3}}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
${c}^{2}={a}^{2}-^{2}=\frac{64}{3}-16=\frac{16}{3}$，∴$c=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴橢圓的離心率為：e=$\frac{c}{a}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{8\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題以一個(gè)平面截圓柱，求載得橢圓的焦距，著重考查了平面與平面所成角的含義和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．