Question

6．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=m，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n+S_n+1=3n²+2n，若對(duì)?_n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，則m的取值范圍是（-2，$\frac{5}{3}$）．

Answer 1

分析 S_n+S_n+1=3n²+2n，n=1時(shí)，2a₁+a₂=5，解得a₂．n≥2時(shí)，利用遞推關(guān)系可得：a_n+1+a_n=6n-1，于是a_n+1-a_n-1=6，因此數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，對(duì)n分類討論即可得出．

解答 解：∵S_n+S_n+1=3n²+2n，
∴n=1時(shí)，2a₁+a₂=5，解得a₂=5-2m．
n≥2時(shí)，S_n-1+S_n=3（n-1）²+2（n-1），
∴a_n+1+a_n=6n-1，∴a_n+a_n-1=6n-7，
∴a_n+1-a_n-1=6，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，
a_2k=5-2m+6（k-1）=6k-1-2m，
a_2k-1=m+6（k-1）=6k+m-6．
∵對(duì)?_n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，
∴n=2k-1時(shí)，6k+m-6＜6k-1-2m，解得m＜$\frac{5}{3}$．
n=2k時(shí)，6k-1-2m＜6（k+1）+m-1，解得：m＞-2．
綜上可得m的取值范圍是：-2＜m＜$\frac{5}{3}$．
故答案為：（-2，$\frac{5}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式及其求和公式、遞推關(guān)系、分類討論方法，考查了推理能力與技能數(shù)列，屬于中檔題．