Question

10．在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且acosB+bcosA=$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$csinC．
（1）求cosC；
（2）若a=6，△ABC的面積為8$\sqrt{5}$，求c．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=$\frac{3\sqrt{5}}{5}si{n}^{2}C$，由此能求出sinC，從而能求出cosC．
（2）由三角形面積公式得到$\sqrt{5}b=8\sqrt{5}$，從而求出b，由此利用余弦定理能求出c．

解答 解：（1）∵在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且acosB+bcosA=$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$csinC，
∴由正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=$\frac{3\sqrt{5}}{5}si{n}^{2}C$，
∴$sinC=\frac{3\sqrt{5}}{5}si{n}^{2}C$，
∵sinC＞0，∴sinC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵C是銳角，∴cosC=$\frac{2}{3}$．
（2）∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC$，a=6，
∴$\sqrt{5}b=8\sqrt{5}$，解得b=8，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=36+64-2×$6×8×\frac{2}{3}$=36，
∴c=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形內(nèi)角余弦值和邊長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運(yùn)用．