Question

14．定義一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f：P（m，n）→P′$（\sqrt{m}，\sqrt{n}）$，（m≥0，n≥0）．現(xiàn)有點(diǎn)A（3，9）與點(diǎn)B（9，3），點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，按定義的對(duì)應(yīng)法則f：M→M′．當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上從點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B結(jié)束時(shí)，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′所經(jīng)過的路線長(zhǎng)度為$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．

Answer 1

分析 確定AB的方程，求出M′的軌跡滿足的方程，利用弧長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)論．

解答 解：由題意知AB的方程為：AB：x+y=12，3≤x≤9，
設(shè)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀），因?yàn)镸在AB上，可以得到x₀+y₀=12，3≤x≤9
而由題意可知，M′的坐標(biāo)為（x，y），則x=$\sqrt{{x}_{0}}$，y=$\sqrt{{y}_{0}}$，
∴M′的軌跡滿足的方程就是x²+y²=12，其中-$\sqrt{3}$≤x≤3
因?yàn)橐�求x＞0，y＞0，所以M′軌跡的兩個(gè)端點(diǎn)是A（$\sqrt{3}$，3）和B（3，$\sqrt{3}$）
∴∠AOx=30°，∠BOx=60°，即M′的軌跡為圓心角為30°的弧，
∴M′所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為$\frac{π}{6}×\sqrt{12}$=$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的確定，考查弧長(zhǎng)公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．