Question

6．給出下列命題：
①若等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S₁₀₀，S₂₀₀-S₁₀₀，S₃₀₀-S₂₀₀成等比數(shù)列；
②將三進(jìn)制數(shù)201102_（3）化為八進(jìn)制數(shù)，結(jié)果為1014_（8）；
③已知等差數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為A_n，B_n，且滿足$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{2n}{n+3}$，則$\frac{{a}_{1}{+a}_{2}{+a}_{12}}{_{2}{+b}_{4}{+b}_{9}}$=$\frac{3}{2}$；
④用秦九韶算法求多項式f（x）=7x³+3x²-5x+11在x=2時的值，在運(yùn)算過程中，一定會出現(xiàn)數(shù)值221；
⑤等差數(shù)列{a_n}中，S_n是它的前n項之和，且，則S₆＜S₇，S₈＜S₇，則S₉一定小于S₆，且S₇一定是S_n中的最大值．
其中正確的是②③⑤（把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）．

Answer 1

分析 可舉公比-1，即可判斷①；分別將三進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)改寫成十進(jìn)制數(shù)，即可判斷②；
設(shè)出A_n=2kn²，B_n=kn（n+3），求出通項，計算即可判斷③；
將f（x）=7x³+3x²-5x+11=x（x（7x+3）-5）+11，即可判斷④；
由題意可得a₇=S₇-S₆＞0，a₈=S₈-S₇＜0，即公差d＜0，即可判斷⑤．

解答 解：對于①，若等比數(shù)列{a_n}的公比為-1，則S₁₀₀=0，S₂₀₀-S₁₀₀=0，S₃₀₀-S₂₀₀=0不成等比數(shù)列，故①錯；
對于②，三進(jìn)制數(shù)201102_（3）=2×3⁵+0×3⁴+1×3³+1×3²+0×3¹+2×3⁰=524，
1014_（8）=1×8³+0×8²+1×8+4=524，故②對；
對于③，由$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{2n}{n+3}$，可設(shè)A_n=2kn²，B_n=kn（n+3），即有a_n=2k+4k（n-1）=4kn-2k，
b_n=4k+2k（n-1）=2kn+2k，則$\frac{{a}_{1}{+a}_{2}{+a}_{12}}{_{2}{+b}_{4}{+b}_{9}}$=$\frac{2k+6k+46k}{6k+10k+20k}$=$\frac{3}{2}$，故③對；
對于④，f（x）=7x³+3x²-5x+11=x（x（7x+3）-5）+11，則v₀=7，v₁=7×2+3=17，v₂=17×2-5=29，
v₃=29×2+11=69，故④錯；
對于⑤，由S₆＜S₇，S₈＜S₇，即有a₇=S₇-S₆＞0，a₈=S₈-S₇＜0，即公差d＜0，則a₁＞0，…，a₇＞，a₈＜0，…，
則S₇一定是S_n中的最大值，且S₉-S₈+S₈-S₇+S₇-S₆=a₉+a₈+a₇=3a₈＜0，即有S₉＜S₆．故⑤對．
故答案為：②③⑤．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和求和公式的運(yùn)用，考查三進(jìn)制與八進(jìn)制的關(guān)系，以及秦九韶算法的特點，屬于中檔題和易錯題．