1．下面說法正確的是                                                                    （    ）

       A．離散型隨機變量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值

       B．離散型隨機變量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平

       C．離散型隨機變量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平

       D．離散型隨機變量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值

  （文）要完成下列2項調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭，280戶中等收入家庭，95戶

低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會購買力的某項指標；②從某中學高一年級的12名體

育特長生中選出3人調(diào)查學習負擔情況。應(yīng)采用的抽樣方法是                         （    ）

A．①用隨機抽樣法  ②用系統(tǒng)抽樣法     B．①用分層抽樣法  ②用隨機抽樣法

C．①用系統(tǒng)抽樣法  ②用分層抽樣法     D．①、②都用分層抽樣法

2．同時拋擲4枚均勻的硬幣80次，設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上的次數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學期望是                                                                 （    ）

       A．20                      B．25                      C．30                      D．40

3．書架上有不同的中文書9本，不同的英文書7本，不同的日文書5本.從這個書架上任意

抽取兩本書，這兩本書不是同一種文字的概率是        

4．甲袋中裝有3個白球5個黑球，乙袋中裝有4個白球6個黑球，現(xiàn)從甲袋中隨機取出一個球放入乙袋中，充分摻混后再從乙袋中隨機取出一個球放回甲袋，則甲袋中白球沒有減少的概率為（    ）

(A)         (B)         (C)         (D)

先計算白球減少的概率，從甲袋中取出白球概率為，再從乙袋中取出黑球概率為所求概率為1-

5．袋中有一些大小相同的小球，其中號數(shù)為1的小球1個，號數(shù)為2的小球2個，號數(shù)為3的小球3個，……，號數(shù)為n的小球n個，從袋中取一球，其號數(shù)記為隨機變量ξ，則ξ的數(shù)學期望Eξ=               .

6．從裝有4粒大小、形狀相同，顏色不同的玻璃球的瓶中，隨意一次倒出若干粒玻璃球

       （至少一粒），則倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率            （    ）

       A．小                      B．大                      C．相等                   D．大小不能確定

5．甲、乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次，其命中率分別是0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被擊中，則它是甲射中的概率是                                                                （    ）

       A．0.6                                                     B．                    

       C．                                                 D．

6．拋擲兩個骰子，當至少有一個的點數(shù)的3的倍數(shù)時，就說這次試驗成功，設(shè)在50次試驗中成功的次數(shù)為，則E=            ，D=            （精確到0.01）27.78,12.35

1．（維坊3月）甲、乙兩人投籃，命中率分別為0.4和0.6，每人各投兩次.

       求下列事件的概率：

       （Ⅰ）兩人都投進兩球；

       （Ⅱ）兩人至少投進三個球.

1．P（甲投進兩球）=，……………………………2分

       P（乙投進兩球）=………………………………………………4分

       P（兩人都投進兩球）=………………………………………6分

（Ⅱ）P（甲投進一球）=

P（乙投進一球）=……………………………………………8分

P（甲投進兩球乙投進一球）=

P（甲投進一球乙投進兩球）=

∴P（兩人至少投進三個球）=……………11分

答：兩人都投進兩球的概率是0.0576，兩人至少投進3個球的概率是0.3072.…12分

2．（開封一）已知：有6個房間安排4個旅游者住，每人可以進住任一房間，且進住房間是等可能的，試求下列各事件的概率：（Ⅰ）事件A：指定的4個房間各有1人；（Ⅱ）事件B：恰有4個房間各有1人；（Ⅲ）事件C：指定的某個房間有2人。

2．由于每人可進住任1房間，進住哪間房是等可能的，每人都有6種等可能的方法，

    根據(jù)乘法原理，4人進住6個房間共有6⁴種方法  ……3分

  （Ⅰ）指定的4個房間各有1人，有種方法， ……6分

  （Ⅱ）從6間中選出4間有種方法，4個人每人去1間有種方法，

                             ……9分

（Ⅲ）從4人中選2個人去指定的某個房間，共有種選法，余下2人每人都可去5個房間中的任1間,因而有5²種種方法。

                 ……12分

3．（大港）如圖：用A、B、C、D四類不同的元件連接成系統(tǒng)N，當元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或當元件A正常工作且元件D正常工作時，系統(tǒng)N正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次為

       （Ⅰ）求元件A不正常工作的概率；

       （Ⅱ）求元件A、B、C都正常工作的概率；

       （Ⅲ）求系統(tǒng)N正常工作的概率.

3．解：（Ⅰ）元件A正常工作的概 率P（A）=，它不正常工作的概率

（2分）=（3分）

            （Ⅱ）元件A、B、C都正常工作的概率P(A?B?C)=P（A）P（B）P（C）（5分）

         （Ⅲ）系統(tǒng)N正常工作可分為A、B、C都正常工作和A、D正常工作但B、C不都正常工作兩種情況，前者概率，（7分）后者的概率為

                   （10分），

                   所以系統(tǒng)N正常工作的概率是

4．（山西實驗）甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：

①恰有一個人譯出密碼的概率；

②至多一個人譯出密碼的概率；

解：①……5分  ②……10分

5．（山西實驗）設(shè)在一袋子內(nèi)裝有5只白球，5只黑球，從這袋子內(nèi)任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子中，求在這5次取球中（結(jié)果保留兩個有效數(shù)學）

①取得白球3次的概率；

②至少有1次取得白球的概率

解：記“取球一次得白球”為事件A，“取球一次得黑球”為事件B.

  ①…6分

②

6．（山西實驗）為了測試甲、乙兩名籃球運動員投定位球的水平，在罰球線上讓他們各投籃10次，甲投中7次，乙投中6次，如果讓甲、乙依照各自的水平再投籃3次，求：

①甲運動員恰好投中2次的概率是什么？

②兩名運動員都恰好投中2次的概率是多少？（結(jié)果保留兩個有效數(shù)學）

解：設(shè)事件A：甲運動員投籃1次，投中 . 事件B：乙運動員投籃1次，投中 .

∴P(A)=0.7  , P(B)=0.6    ①…………6分

②…

7．（南京）一個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球．

（Ⅰ）從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率；

（Ⅱ）從中摸出一個球，放回后再摸出一個球，求兩球恰好顏色不同的概率．

7．Ⅰ）記“摸出兩個球，兩球恰好顏色不同”為A，

摸出兩個球共有方法種， 其中，兩球一白一黑有種.  …………4分

.                  ………………………………6分

（Ⅱ）法一：記摸出一球，放回后再摸出一個球 “兩球恰好顏色不同”為B，

摸出一球得白球的概率為，摸出一球得黑球的概率為，    ……8分

“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”， ……………10分

.         ……………………………12分

法二：有放回地摸兩次，互相獨立.   摸一次得白球的概率為,……10分

“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為      ………12分

8．在某次考試中，甲、乙、丙三人合格（互不影響）的概率分別是，，，考試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)幾人合格的情況？

解：按以下四種情況計算概率,概率最大的就是最容易出現(xiàn)的情況.

⑴三人都合格的概率………………………………………………2分

⑵三人都不合格的概率為……………………… 4分

⑶恰有兩人合格的概率

…………………………7分

⑷恰有一人合格的概率………………………………… 10分

由此可知，最容易出現(xiàn)恰有１人合格的情況……………………………………………12分

9．（洛陽一中）一個電路中有三個電子元件，它們接通的概率都是m（0＜m＜1如圖，有如下三

種聯(lián)接方法：

①                            ②                 ③

   （1）分別求出這三種電路各自接通的概率；

   （2）試分析這三種電路哪種性能最優(yōu)，并證明你的結(jié)論.

9．三種電路各自接通分別記為事件A₁、A₂、A₃，則P（A₁）=m³…………3分

P（A₂）=1－（1－m）³=3m－3m²+m³………6分   P（A₃）=2（1－m）m²+m³=2m²－m³……9分

（2）P（A₂）－P（A₁）=3m－3m²=3m（1－m）   ∵0＜m＜1   ∴P（A₂）＞P（A₁）………10分

P（A₂）－P（A₃）=2m³－5m²+3m=m（2m－3）（m－1）＞0    ∴P（A₂）＞P（A₃）…………11分

三個電子元件并聯(lián)接通的概率最大，故性能最優(yōu)………………12分

10．口袋里放有12個大小完全一樣的球，其中3個紅色的，4個白色的，5個蘭色的，在袋里取出4個球時，求

（1）       取出的球的顏色至少是兩種的概率；

（2）       取出的球的顏色是三種的概率

11．同時拋擲15枚均勻的硬幣一次

  (1)試求至多有1枚正面向上的概率；

  (2)試問出現(xiàn)正面向上為奇數(shù)枚的概率與出現(xiàn)正面向上為偶數(shù)枚的概率是否相等?請說明理由.

解：（1）記“拋擲1枚硬幣1次出現(xiàn)正面向上”為事件A，P（A）=，拋擲15枚硬幣1次相當于作15次獨立重復(fù)試驗，根據(jù)幾次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生K次的概率公式，記至多有一枚正面向上的概率為P₁

則P₁= P₁₅（0）+ P₁₅（1）=+=          ……………（6分）

  （2）記正面向上為奇數(shù)枚的概率為P₂，則有

P₂= P₁₅（1）+ P₁₅（3）+…+ P₁₅（15）=++…+

  =+…+)?         ………………………（10分）

又“出現(xiàn)正面向上為奇數(shù)枚”的事件與“出現(xiàn)正面向上為偶數(shù)枚” 的事件是對立事件，記“出現(xiàn)正面向上為偶數(shù)枚” 的事件的概率為P₃

 P₃=1?=          相等   

12．（山東實驗）有一批種子，每粒發(fā)芽的概率為，播下5粒種子，計算：

      （Ⅰ）其中恰好有4粒發(fā)芽的概率；

      （Ⅱ）其中至少有4粒發(fā)芽的概率；

      （Ⅲ）其中恰好有3粒沒發(fā)芽的概率.

      （以上各問結(jié)果均用最簡分數(shù)作答）

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

13．（蘇錫常鎮(zhèn)一）某種電路開關(guān)閉合后，會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動，已知開關(guān)第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和出現(xiàn)綠燈的概率都是.從開關(guān)第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是

.問：

       （Ⅰ）第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率是多少？

       （Ⅱ）三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率是多少？

13．解（Ⅰ）如果第一次出現(xiàn)紅燈，則接著又出現(xiàn)紅燈的概率是；如果第一次出現(xiàn)綠燈，則接著出現(xiàn)紅燈的概率為.………4分              綜上，第二次出現(xiàn)紅燈的概率為+.……5分

       （Ⅱ）由題意，三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的情況共有如下三種方式：

       ①當出現(xiàn)綠、綠、紅時的概率為；②當出現(xiàn)綠、紅、綠時的概率為；…9分

       ③當出現(xiàn)紅、綠、綠時的概率為；…………………………………………11分

所以三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率為++=…12分

14．（蘇州）沿某大街在甲、乙、丙三個地方設(shè)有紅、綠燈交通信號，汽車在甲、乙、丙三個地方通過（即通過綠燈）的概率分別為，，，對于該大街上行駛的汽車，求：

（Ⅰ）在三個地方都不停車的概率；

（Ⅱ）在三個地方都停車的概率；

（Ⅲ）只在一個地方停車的概率．

14．7、解（1）；-

（2）；分

     (3)-------

15．一盒中裝有20個大小相同的彈子球，其中紅球10個，白球6個，黃球    4個，一小孩隨手拿出4個，求至少有3個紅球的概率

15．解：恰有3個紅球的概率P₁=  ……4′有4個紅球的概率P₂=……8′

  至少有3個紅球的概率P=P₁+P₂=…………12′

16．（濟寧）有A、B兩個箱子，A箱中有6張相同的卡片，其中一張寫有0，兩張寫有1，三張寫有2；B箱中有7張相同的卡片，其中四張寫有0，一張寫有1，兩張寫有2，現(xiàn)從A箱中任取1張，從B箱中任取2張，共3張卡片。

求：（Ⅰ）3張卡片都寫有0的概率；（Ⅱ）3張卡片中數(shù)字之積為0的概率。

16．Ⅰ）（Ⅱ）

17．（宿遷）某產(chǎn)品檢驗員檢查每一件產(chǎn)品時，將正品錯誤地鑒定為次品概率為0.1，將次品錯誤地鑒定為正品的概率為0.2，如果這位檢驗員要鑒定4件產(chǎn)品，這4件產(chǎn)品中3件是正品，1件是次品，試求檢驗員鑒定成正品，次品各2件的概率。

17．將3件正品，1件次品鑒定為2件正品，2件次品有兩種可能：

  （1）將原1件次品仍鑒定為次品，原3件正品中有1件錯誤地鑒定為次品，這時的概率為。

  （2）將原1件次品鑒定為正品，再將3件正品中的2件錯誤地鑒定為次品，這時的概率為。

    于是所求的概率

18．（揚州）（1）如果獵人射擊距離100米遠處的靜止目標3次，求至少有一次命中的概率；

（2）如果獵人射擊距離100米遠處的動物，假如第一次未命中，則進行第二次射擊，但由于槍聲驚動動物使動物逃跑從而使第二次射擊時動物離獵人的距離變?yōu)?50米，假如第二次仍未命中，則必須進行第三次射擊，而第三次射擊時動物離獵人的距離為200米。假如擊中的概率與距離成反比，。求獵人最多射擊三次命中動物的概率。

（1）記事件“獵人射擊距離100米遠處的靜止目標3次，至少有一次命中”為A事件，

則P(A)=1-P()=1-0.4×0.4×0.4=0.936.

  （2）記事件“第次擊中動物”為事件（ =1,2,3），記事件“最多射擊3次而擊中動物”為事件B.

由條件P(B₁)=0.6, P(B₁)==0.4, P(B₁)==0.3,

 ∵,且是相互獨立事件,又、、是互斥事件，

∴=0.832.

18．（鎮(zhèn)江）某班數(shù)學興趣小組有男生和女生各３名，現(xiàn)從中任選２名學生去參加校數(shù)學競賽，求：

（I）恰有一名參賽學生是男生的概率；

（II）至少有一名參賽學生是男生的概率；

（Ⅲ）至多有一名參賽學生是男生的概率。

18．（17）基本事件的種數(shù)為=15種  ）

（Ⅰ）恰有一名參賽學生是男生的基本事件有=9種 這一事件的概率P₁==0.6（5分）

（Ⅱ）至少有一名參賽學生是男生這一事件是由兩類事件構(gòu)成的，即恰有一名參賽學生是男生和兩名參賽學生都是男生所求事件的概率P₂=     ……（9分）

（Ⅲ）至多有一名參賽學生是男生這一事件也是由兩類事件構(gòu)成的，即參賽學生沒有男生和恰有一名參賽學生是男生所求事件的概率P₃=   

19．（南京師大附中）排球比賽的規(guī)則是5盤3勝制，A、B兩隊每盤比賽獲勝的概率都相等且分別為和.

（Ⅰ）前2盤中B隊以2:0領(lǐng)先，求最后A、B隊各自獲勝的概率;

    （Ⅱ）B隊以3:2獲勝的概率.

解:（Ⅰ）設(shè)最后A獲勝的概率為設(shè)最后B獲勝的概率為

                           …………………………………4分

          ……………………8分

（Ⅱ）設(shè)B隊以3:2獲勝的概率為.

20．（四市聯(lián)考）有外形相同的球分裝在三個不同的盒子中，每個盒子10個球，其中第一個盒子中7個球標有字母A，3個球標有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個，試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一球，若取得標有字母A的球，則在第二個盒子中任取一球；若第一次取得標有字母B的球，則在第三個盒子中任取一球，如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率

解：設(shè)事件A{從第一個盒子中取得一個標有字母A的球}，事件B={從第一個盒子中取

得一個標有字母B的球}，

則A，B互斥，且P（A）=，P（B）=；（4分）

事件C={從第二號盒子中取一個紅球}，

事件D={從第三號盒子中取一個紅球}，

則C，D互斥，且P（C）=（8分）顯然，事件A?C與事件B?D互斥，且事件A與C是相互獨立的， B與D也是相互獨立的.所以試驗成功的概率為

（11分）

答：本次試驗成功的概率為

21．有甲、乙兩個籃球運動員，甲投籃的命中率為0.7，乙投籃的命中率為0.6，每人各投籃三

    次：

   （Ⅰ）甲恰有2次投中的概率； 

   （Ⅱ）乙至少有1次投中的概率；

   （Ⅲ）甲、乙兩人投中數(shù)相等的概率。

(Ⅰ)甲恰有2次投中的概率;…3分

(Ⅱ)乙至少有1次投中的概率可視為3次獨立重復(fù)試驗中乙投中次數(shù)不少于1的事件發(fā)生的概率……7分

 (Ⅲ)分4種情況①甲乙均未投中;②甲乙均投中1次;③甲乙均投中2次;④甲乙均投中3次;故所求概率為

.…………12分

22．（開封2）在袋里裝30個小球，其中彩球有：n個紅色、5個藍色、10個黃色，其余為白球.

求：①如果已經(jīng)從中取定了5個黃球和3個藍球，并將它們編上了不同的號碼后排成一排，那么使藍色小球互不相鄰的排法有多少種？

②如果從袋里取出3個都是相同顏色彩球（無白色）的概率是，計算紅球有幾個？

③根據(jù)②的結(jié)論，計算從袋中任取3個小球至少有一個是紅球的概率？

解：①將5個黃球排成一排只有種排法，將3個藍球放在5個黃球所形成的6個空上，有種放法 ∴所求的排法為=5×4×3×2×6×5×4=14400（種）…4分

    ②取3個球的種數(shù)為 設(shè)“3個球全紅色”為事件A，“3個全藍色”為事件B，“3個球全黃色”為事件C.     ∵A、B、C為互斥事件  ∴P（A+B+C）= P（A）+P（B）+P（C）  即 取3個球紅球的個數(shù)≤2，又∵n≥2，故n = 2 ……8分 ③記“3個球中至少有一個是紅球”為事件D，則為“3個球中沒有紅球” 或 

23．（蘇四2）高三（1）班、高三（2）每班已選出3名學生組成代表隊，進行乒乓球?qū)�抗賽，比賽�?guī)則是：

①按“單打、雙打、單打”順序進行三盤比賽；

②代表隊中每名隊員至少參加一盤比賽，不得參加兩盤單打比賽；

③先勝兩盤的隊獲勝，比賽結(jié)束.

已知每盤比賽雙方勝出的概率均為

（Ⅰ）根據(jù)比賽規(guī)則，高三（1）班代表隊共可排出多少種不同的出場陣容？

（Ⅱ）高三（1）班代表隊連勝兩盤的概率是多少？

（Ⅲ）高三（1）班代表隊至少勝一盤的概率為多少？

解：（Ⅰ）參加單打的隊員有種方法.參加雙打的隊員有種方法.    （2分）

所以，高三（1）班出場畫容共有   （4分）

（Ⅱ）高三（1）班代表隊連勝兩盤，可分為第一盤、第二盤勝或第一盤負，其余兩盤勝.（6分）

所以，連勝兩盤的概率為   （8分）

（Ⅲ）高三（1）班至少勝盤，可分為：

（1）勝一盤，此時的概率為  （9分）

（2）勝兩盤，此時的概率為  （11分）

所以，高三（1）班至少勝一盤的概率為   （12分）或：

高三（1）班代表隊至少勝一盤的對立事件為輸?shù)羟皟杀P所以，所求概率為（12分）

試題詳情

                           1990――2002年高考立體幾何試題匯編

(90全國) 如圖,在三棱錐SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù).

（91全國）已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求點B到平面EFG的距離．

（92理）兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA1的長度為d。在直線a、b上分別取點E、F,設(shè)A1E=m，AF=n

（93全國）如圖,A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱,過點A₁、B、C₁的平面和平面ABC的交線記作l.

　　(Ⅰ)判定直線A1C1和l的位置關(guān)系,并加以證明;

　　(Ⅱ)若A₁A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求頂點A₁到直線l的距離.

（94全國）如圖,已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱,D是AC中點.
　　(1)證明AB₁∥平面DBC₁；
　　(2)假設(shè)AB₁⊥BC₁,求以BC₁為棱,DBC₁與CBC₁為面的二面角α的度數(shù).

（95全國）如圖，ABCD是圓柱的軸截面，點E在底面的周長上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足。

(1)求證：AF⊥DB

(2)如果AB=a，圓柱與三棱錐D-ABE的體積比等于3π，求點E到截面ABCD的距離

（96全國）如圖,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,E∈BB₁，截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁.

　　　(Ⅰ)求證:BE=EB1;
　　
　　　(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數(shù).

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
注意:在下面橫線上填寫適當內(nèi)容,使之成為(Ⅰ)的完整證明,并解答(Ⅱ).
　　　(Ⅰ)證明:在截面A₁EC內(nèi),過E作EG⊥A₁C,G是垂足.
　　　　�、� ∵__________________________________
　　　　　　　∴EG⊥側(cè)面AC₁;取AC的中點F,連結(jié)BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,
　　　　�、� ∵___________________________________
　　　　　　∴BF⊥側(cè)面AC₁;得BF∥EG,BF、EG確定一個平面,交側(cè)面AC₁于FG.
　　　　　③ ∵ __________________________________
　　　　　　∴BE∥FG,四邊形BEGF是平行四邊形,BE=FG,
　　　　�、� ∵_________________________________
　　　　　　∴FG∥AA₁,△AA₁C∽△FGC,
　　　　　⑤ ∵_________________________
　　(Ⅱ)解:

（97全國）如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點.
      (Ⅰ)證明AD⊥D1F;
      (Ⅱ)求AE與D1F所成的角;
      (Ⅲ)證明面AED⊥面A1FD1;

（00廣東、全國）如圖，已知平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD，

（Ⅰ）證明：C₁C⊥BD；

（Ⅱ）當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A₁C⊥平面C₁BD？請給出證明。

（00兩省一市）如圖，直三棱柱ABC-，底面ΔABC中，CA=CB=1，BCA=，棱=2，M、N分別是、的中點。

（I）求的長；

（II）求，的值；

（III）求證

（01廣東、全國）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐Ｓ―ABCD中，

∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD， SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝．

(Ⅰ)求四棱錐S―ABCD的體積；

(Ⅱ)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．

（01兩省一市）如圖，以正四棱錐V-ABCD底面中心O為坐標原點建立空間直角坐標系O-xyz，其中Ox∥BC,Oy∥AB.E為VC中點，正四棱錐底面邊長為2a,高為h

(Ⅰ)求cos<,>;

(Ⅱ)記面BCV為，面DCV為，若BED是二面角的平面角，求BED

（02全國）如圖，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直。點在上移動，點在上移動，若（）

（1）求的長；

（2）為何值時，的長最小；

（3）當?shù)拈L最小時，求面與面所成二面角的大小。

（02兩省一市）如圖，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的底面邊長為，側(cè)棱長為。

（1）       建立適當?shù)淖鴺讼担�并寫出點A、B、A₁、C₁的坐標；

（2）       求AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角

（02廣東）四棱錐的底面是邊長為的正方形，平面。

（1）若面與面所成的二面角為，求這個四棱錐的體積；

（2）證明無論四棱錐的高怎樣變化。面與面所成的二面角恒大于

試題詳情

直線和圓高考試題集

試題詳情

1、(1997文)已知直線與拋物線交于A、B兩點，那么線段AB的中點坐標是_______

2、(2003江蘇卷)已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F（，0）直線y=x－1與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是（  ）

A．       B．   C．     D．

3、(2004上海春季)已知傾斜角為的直線過點和點，在第一象限，.

⑴ 求點的坐標；

⑵若直線與雙曲線相交于、兩點，且線段的中點坐標為，求的值；

⑶對于平面上任一點，當點在線段上運動時，稱的最小值為與線段的距離. 已知點在軸上運動，寫出點到線段的距離關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.

4、(2004北京春季理)已知點A（2，8），，在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）

⑴寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；

⑵求線段BC中點M的坐標；

⑶求BC所在直線的方程。

5、(2002全國春季)已知某橢圓的焦點是、，過點并垂直于軸的直線與橢圓的一個交點為，且，橢圓上不同的兩點、滿足條件：、、成等差數(shù)列．

⑴求該橢圓方程；

⑵求弦中點的橫坐標；

⑶設(shè)弦的垂直平分線的方程為，求的取值范圍．

6、(2001上海春季)已知橢圓的方程為，點的坐標滿足。過點的直線與橢圓交于、兩點，點為線段的中點，求：

⑴點的軌跡方程；⑵點的軌跡與坐標軸的交點的個數(shù)．

7、(2004廣州春季高畢)已知向量=（x，），=（1，0），且（+）（?）．

⑴求點Q（x，y）的軌跡C的方程；

⑵設(shè)曲線C與直線相交于不同的兩點M、N，又點A（0，－1），當時，求實數(shù)的取值范圍．

8、(2003上海理)在以O(shè)為原點的直角坐標系中，點A（4，－3）為△OAB的直角頂點.已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于零.

⑴求向量的坐標；

⑵求圓關(guān)于直線OB對稱的圓的方程；

⑶是否存在實數(shù)a，使拋物線上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍.

9、(1992理)已知橢圓，A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P（x₀,0）.證明：

10、(2003春季北京理)已知動圓過定點P（1，0），且與定直線相切，點C在l上.

⑴求動圓圓心的軌跡M的方程；

⑵設(shè)過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A，B兩點.

（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由；

（ii）當△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍.

11、(1987文)正方形ABCD在直角坐標平面內(nèi)，已知其一條邊AB在直線y=x+4上，C，D在拋物線x=y²上，求正方形ABCD的面積。

12、(1984理)求經(jīng)過定點M（1，2），以y軸為準線，離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程。

13、(2004廣州春季高畢)若直線被圓所截得的弦長為,則實數(shù)a的值為

（A）?1或    （B）1或3    （C）?2或6      （D）0或4

14、(2003全國理)已知圓C：（a＞0）及直線，當直線被C截得的弦長為時，則a=     （    ）

A． B．  C．   D．

15、(2002全國理)圓的圓心到直線的距離是

（A）　　　�。˙）　　　�。–）　　　�。―）

16、(1999理)直線截圓得的劣弧所對的圓心角為

（A）       （B）     （C）      （D）     （ C ）

17、(1990新題目組文)圓上的點到直線的距離的最小值是

（A）6      （B）4      （C）5       （D）1        （ B ）

18、(2003全國理) 已知常數(shù)在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且，P為GE與OF的交點（如圖），問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.

19、(2003江蘇卷)已知常數(shù)，向量經(jīng)過原點O以為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0，a）以為方向向量的直線相交于點P，其中試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.

20、(2002全國新課程卷理)平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點，若點滿足，其中有且，則點的軌跡方程為(    )

21、(2002全國新課程卷理)已知兩點，且點使，，成公差小于零的等差數(shù)列。

⑴點P的軌跡是什么曲線？

⑵若點P坐標為，記為與的夾角，求。

22、(2002全國春季)已知橢圓的焦點是、，是橢圓上的一個動點．如果延長到，使得，那么動點的軌跡是（ ）

（A）圓         （B）橢圓     （C）雙曲線的一支  （D）拋物線

23、(2001北京內(nèi)蒙古安徽春季)設(shè)動點P在直線上，O為坐標原點．以OP為直角邊、點O為直角頂點作等腰，則動點Q的軌跡是

（A）圓     　（B）兩條平行直線          （C）拋物線            （D）雙曲線

24、(2000北京安徽春季理)如圖，設(shè)點A和B為拋物線上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。

25、(1995理)已知橢圓，直線．P是上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|∙|OP|=|OR|²．當點P在直線l上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

26、(1999理)如圖，給出定點A（0）（）和直線B是直線上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C。求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與值的關(guān)系。

27、(1985理)已知兩點P（-2，2），Q（0，2）以及一條直線：：y=x，設(shè)長為的線段AB在直線上移動，如圖。求直線PA和QB的交點M的軌跡方程。（要求把結(jié)果寫成普通方程）

28、(2004年安徽春季理)拋物線的準線方程為＿＿＿＿＿.

29、(2003江蘇卷)拋物線的準線方程是y=2，則a的值為（    ）

A．　　　    B．－       　　C．8　　　      D．－8

30、(2002全國理)橢圓的一個焦點是，那么     。

31、(2002全國春季)若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦點坐標是_________．

32、(1994新考理)設(shè)F₁和F₂為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上滿足∠F₁PF₂=90⁰，則△F₁PF₂的面積是                  （ A ）

（A）1        （B）        （C）2         （D）

33、(2000全國理)過拋物線的焦點F作一條直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是、，則等于

（A）     （B）     （C）     （D）

34、(2004年安徽春季理)已知F₁、F₂為橢圓（）的焦點；M為橢圓上一點，MF₁垂直于x軸，且∠F₁MF₂＝60⁰，則橢圓的離心率為

（A）     （B）      （C）     （D）

35、(2003廣東卷)雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F₁、F₂，∠F₁MF₂=120°，則雙曲線的離心率為  （    ）

A．                  B．                  C．                  D．

36、(2003春季北京理)如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，△POF₂是面積為的正三角形，則b²的值是               .

37、(2000全國理)橢圓的焦點、，點為其上的動點，當∠為鈍角時,點橫坐標的取值范圍是                 。

38、(2000北京安徽春季理)雙曲線的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是

（A）2          （B）         （C）       （D）

39、(1996理)設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線過（，0），（0，）兩點。已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為　（ A ）

（A）2      （B）     （C）      （D）

40、(1999理)設(shè)橢圓的右焦點為F₁，右準線為。若過F₁且垂直于x軸的弦長等于點F₁到的距離，則橢圓的離心率是__________

41、(2001全國理)設(shè)拋物線的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸．證明直線AC經(jīng)過原點O．

42、(2001廣東卷)已知橢圓的右準線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準線l上，且ＢＣ∥x軸?求證直線AC經(jīng)過線段EF的中點．

43、(2001北京內(nèi)蒙古安徽春季)已知拋物線．過動點M（，0）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點A、B，．

⑴求的取值范圍；

⑵若線段AB的垂直平分線交軸于點N，求面積的最大值．

44、(2002全國理)設(shè)點到點、距離之差為，到軸、軸距離之比為。求的取值范圍。

45、(1983理)如圖，已知橢圓長軸|A₁A₂|=6，焦距|F₁F₂|=，過橢圓焦點F₁作一直線，交橢圓于兩點M，N。設(shè)∠F₂F₁M=α（0≤α＜π）當α取什么值時，|MN|等于橢圓短軸的長？

46、(1997理)設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3:1。在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線：的距離最小的圓的方程。

47、(2000全國理)如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點。當時，求雙曲線離心率的取值范圍。

48、(1986理)過點M（-1，0）的直線與拋物線y²=4x交于P₁、P₂兩點。記：線段P₁P₂的中點為P；過點P和這個拋物線的焦點F的直線為；的斜率為k。試把直線的斜率與直線的斜率之比表示為k的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間，同時說明在每一單調(diào)區(qū)間上它是增函數(shù)還是減函數(shù)。

49、(2001廣東卷)對于拋物線ｙ^２＝４ｘ上任意一點Q，點P(a,0)都滿足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，則a的取值范圍是

A．（－∞,０） 　B．（－∞,２）      C．［０,２］     D．（０,２）

50、(1990理)設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率，已知點P（0，）到這個橢圓上點的最遠距離是.求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標。

51、(1991理)雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點。若OP⊥OQ，|PQ|=4，求雙曲線的方程。

52、(1990文)橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓的方程。

53、(1994新考理)已知直線過坐標原點，拋物線C的頂點在原點。焦點在x軸正半軸。若點A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于的對稱點都在C上，求直線和拋物線C的方程。

54、(1996理)已知是過點P（）的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩交點，分別為A₁、B₁和A₂、B₂。

⑴求的斜率k₁的取值范圍；⑵若|A₁B₁|=|A₂B₂|，求的方程。

55、(1990文)在△ABC中，BC邊上的高所在的直線的方程為x-2y+1=0，∠A的平分線所在的直線方程為y=0。若點B的坐標為（1，2），求點A和點C的坐標。

56、(1993理)在面積為1的△PMN中，.建立適當?shù)淖鴺讼�，求出以M，N為焦點且過點P的橢圓方程。

57、(1998理)如圖，直線和相交于點M，⊥，點以A，B為端點的曲線段C上的任一點到的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立適當?shù)淖鴺讼担�求曲線段C的方程。

58、(2004年安徽春季理)已知拋物線C：，過C上一點M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點M的法線.

⑴若C在點M的法線的斜率為－，求點M的坐標（x₀，y₀）；

⑵設(shè)P（－2，a）為C對稱軸上的一點，在C上是否存在點，使得C在該點的法線通過點P？若有，求出這些點，以及C在這些點的法線方程；若沒有，請說明理由.

59、(2003春季北京理)有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=a，BC=2b.今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在BC的垂直平分線上的P點處，（建立坐標系如圖）

⑴若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小， 點P應(yīng)位于何處？

⑵若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，點P應(yīng)位于何處？

試題詳情

不等式高考試題集

試題詳情

三角函數(shù)(1985年――2003年高考試題集)

試題詳情

新高考數(shù)列選題

1．（2000天津）（15）設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且（=1，2， 3，…），則它的通項公式是=________。

2．（2003天津文）5．等差數(shù)列    （    ）A．48     B．49     C．50                                D．51

3．（2001天津）若S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且則是 （     ）

（A）等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列                      （B）等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列

（C）等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列           （D）既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列

4．（2000天津理）（21）（本小題滿分12分）

（I）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)。

（II）設(shè)、是公比不相等的兩個等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列。

5．（2000天津文）（19）（本小題滿分12分）

設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，已知，，為數(shù)列的前項和，求。

6．（2002天津理）21、（本題滿分12分）已知兩點，且點使，，

成公差小于零的等差數(shù)列。

（1）點P的軌跡是什么曲線？

（2）若點P坐標為，記為與的夾角，求。

7．（2002天津理）22、（本題滿分14分）已知是由非負整數(shù)組成的數(shù)列，滿足，，。

(1)求；

(2)證明；

(3)求的通項公式及其前項和。

8．（2003江蘇理）（22）（本小題滿分14分）

設(shè)，如圖，已知直線及曲線上的點的橫坐標為作直線平行于軸，交直線作直線平行于軸，交曲線的橫坐標構(gòu)成數(shù)列

（Ⅰ）試求的關(guān)系，并求的通項公式；

a₁

（Ⅲ）當時，證明

9．（2003天津理）（22）（本小題滿分14分）

設(shè)為常數(shù)，且．

（Ⅰ）證明對任意≥1，；

（Ⅱ）假設(shè)對任意≥1有，求的取值范圍．

10．（2003天津文）19．（本題滿分12分）

    已知數(shù)列

   （Ⅰ）求

   （Ⅱ）證明

試題詳情

考試內(nèi)容：

數(shù)列。等差數(shù)列及其通項公式、前n項和的公式。等比數(shù)列及其通項公式、前n項和的公式。

數(shù)列的極限及其四則運算。

數(shù)學歸納法及其應(yīng)用。

考試要求：

(1)理解數(shù)列的有關(guān)概念。了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。

(2)掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和的公式，并能夠運用這些知識解決一些問題。

(3)了解數(shù)列極限的意義，掌握極限的四則運算法則，會求公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項和的極限。

(4)了解數(shù)學歸納法的原理，并能用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題。

1. 給出20個數(shù):87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.它們的和是(   )(86年(5)3分)
(A)1789            (B)1799           (C)1879            (D)1899

2. 設(shè)命題甲:△ABC的一個內(nèi)角為60o，命題乙:△ABC的三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列.那么(   )(88年(11)3分)
(A)甲是乙的充分不必要條件             (B)甲是乙的必要不充分條件
(C)甲是乙的充要條件                   (D)甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

3. 已知{an}是等比數(shù)列,如果a1＋a2＋a3＝18,a2＋a3＋a4＝－9,Sn＝a1＋a2＋……＋an,那么的值等于(   )(89年(5)3分)
(A)8               (B)16             (C)32              (D)48

4. 已知{an}是等比數(shù)列,且an＞0,a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25,那么a3＋a5＝(   )(91年(7)3分)
(A)5               (B)10             (C)15              (D)20

5. 的值等于(   )(91年(12)3分)
(A)0               (B)1              (C)2               (D)3

6. 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a5a6＝9,則log3a1＋log3a2＋……＋log3a10＝(   )(93年(7)3分)
(A)12              (B)10             (C)8               (D)2＋log35

7. 某種細菌在培養(yǎng)過程中,每20分鐘分裂一次(一個分裂為兩個),經(jīng)過3個小時,這種細菌由一個可繁殖成(   )(94年(5)4分)
(A)511個           (B)512個          (C)1023個          (D)1024個

8. 等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若＝(   )(95年(12)5分)
(A)1               (B)            (C)              (D)

9. 等比數(shù)列an的首項a1＝－1，前n項和為Sn，已知等于(   )(96年(10)4分)
(A)              (B)－           (C)2               (D)－2

10.  等差數(shù)列{an}的前m項和是30，前2m項和是100，則它的前3m項和是(   )(96年(12)5分)
(A)130             (B)170            (C)210             (D)260

11.  在等比數(shù)列{an}中,a1＞1,且前n項和Sn滿足,那么a1的取值范圍是(   )(98年(15)5分)
(A)(1,＋∞)        (B)(1,4)          (C)(1,2)           (D)(1,)

1. ＝____________.(86年(14)4分)

2. ＝____________.(87年(12)4分)

3. 已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，a1＝b(b≠0)，則＝_______.(88年(24)4分)

4. 已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，如果Sn是{an}的前n項和，那么等于_______.(90年(18)3分)

5. 已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則的值是_________.(92年(23)3分)

6. 已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，首項a1＞0，S＝______.(93年(24)3分)

1. 設(shè)a  (n＝1,2,3……),
Ⅰ.證明不等式對所有的正整數(shù)n都成立;
Ⅱ.設(shè)b (n＝1,2,3……),用極限定義證明.(85年(16)10分)

2. 已知x1＞0,x1≠1,且x (n＝1,2,3……).試證:數(shù)列{xn}或者對任意的自然數(shù)n都滿足xn＜xn＋1,或者對任意的自然數(shù)n都滿足xn＋1＜xn.(86年(22)12分)

3. 設(shè)數(shù)列a1,a2,……an,……的前項和Sn與an的關(guān)系是Sn＝－ban＋1－,其中b是與n無關(guān)的常數(shù),且b≠－1,
Ⅰ.求an和an＋1的關(guān)系式;
Ⅱ.寫出用n和b表示an的表達式;
Ⅲ.當0＜b＜1時,求極限Sn.(87年(20)12分)

4. 是否存在常數(shù)a,b,c,使得等式1?22＋2?32＋……＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)對一切自然數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論.(89年(23)10分)

5. 有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,求這四個數(shù).(90年(21)10分)

6. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3＝12,S12＞0,S13＜0,
Ⅰ.求公差d的取值范圍;
Ⅱ.指出S1,S2,……S12中哪一個值最大,并說明理由.(92年(27)10分)

7. 設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項的和為Sn,并且對所有的自然數(shù)n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項,
Ⅰ.寫出數(shù)列{an}的前3項;
Ⅱ.求數(shù)列{an}的通項公式(寫出推導(dǎo)過程);
Ⅲ.令b,(n∈N),求(b1＋b2＋……＋bn－n).(94年(25)14分)

8. 設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn是其前n項和,
Ⅰ.證明:(lgSn＋lgSn＋2)＜lgSn＋1;
Ⅱ.是否存在常數(shù)c＞0,使得[lg(Sn－c)＋lg(Sn＋2－c)]＜lg(Sn＋1－c)成立?并證明你的結(jié)論.(95年(25)12分)

9. 已知數(shù)列{an},{bn}都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比分別為p,q,其中p＞q,且p≠1,q≠1.設(shè)cn＝an＋bn,Sn為數(shù)列{cn}的前項和,求.(97年(21)11分)

10.  已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1＝1,b1＋b2＋……＋b10＝145.
①求數(shù)列{bn}的通項bn;
②設(shè)數(shù)列{an}的通項an＝loga(1＋)(其中a>0且a≠1),記Sn是數(shù)列{an}的前n項和.試比較Sn與的大小,并證明你的結(jié)論.(98年(25)12分)

11. 右圖為一臺冷軋機的示意圖,冷軋機由若干對軋輥
組成,帶鋼從一段輸入,經(jīng)過各隊軋輥逐步減薄后輸出
(1)輸入帶鋼的厚度為α,輸出帶鋼的厚度為β,若每對軋輥
的減薄率不超過r0,問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥?
(一對軋輥減薄率＝)
(2)已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥,所有軋輥周長均為1600mm,若第k對軋輥有缺陷,每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點,在冷軋機輸出的帶鋼上,疵點的間距為Lk,為了便于檢修,請計算L',L2,L3并填入下表(軋鋼過程中,帶鋼寬度不變,且不考慮損耗)(99年(22)12分)

軋輥序號k

1

2

3

4

疵點間距Lk(單位:mm)

1600

12. 已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線,當n≤y≤n＋1(n＝0,1,2,…)時,該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b≠1),設(shè)數(shù)列{xn}有f(xn)＝n(n＝1,2,…)定義
(1)求x1,x2和xn的表達式;(2)求f(x)的表達式,并寫出其定義域
(3)證明y＝f(x)的圖象與y＝x的圖象沒有橫坐標大于1的交點(99年(23)14分)

試題詳情

十九  函數(shù)高考試題選編

試題詳情

考試內(nèi)容：

集合.子集、交集、并集、補集.

映射.函數(shù)(函數(shù)的記號、定義域、值域).

冪函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系.

指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù).換底公式.簡單的指數(shù)方程和對數(shù)方程.

二次函數(shù).

考試要求：

(1)理解集合、子集、交集、并集、補集的概念.了解空集和全集的意義，了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義，能掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，能正確地表示一些較簡單的集合.

(2)了解映射的概念，在此基礎(chǔ)上理解函數(shù)及其有關(guān)的概念掌握互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系.

(3)理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，并能判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，能利用函數(shù)的奇偶性與圖象的對稱性的關(guān)系描繪函數(shù)圖象.

(4)掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的概念及其圖象和性質(zhì)，并會解簡單的指數(shù)方程和對數(shù)方程.

1.在下面給出的函數(shù)中，哪一個既是區(qū)間(0，)上的增函數(shù)，又是以π為周期的偶函數(shù)(85(3)3分)
A.y＝x²             B.y＝|sinx|          C.y＝cos2x          D.y＝e^sin2x
B

2.函數(shù)y＝(0.2)^－x＋1的反函數(shù)是(86(2)3分)
A.y＝log₅x＋1        B.y＝log_x5＋1        C.y＝log₅(x－1)      D.y＝log₅x－1
C

3.在下列各圖中，y＝ax²＋bx與y＝ax＋b的圖象只可能是(86(9)3分)
A.                  B.                  C.                  D.
D

4.設(shè)S，T是兩個非空集合，且SËT，TËS，令X＝S∩T，那么S∪X＝(87(1)3分)
A.X                B.T                 C.Φ                D.S
D

5.在區(qū)間(－∞，0)上為增函數(shù)的是(87(5)3分)
A.y＝－log_0.5(－x)    B.y＝           C.y＝－(x＋1)²      D.y＝1＋x^２
B

6.集合{1，2，3}的子集總共有(88(3)3分)
A.7個              B.8個              C.6個              D.5個
B

7.如果全集I＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，則＝(89(1)3分)
A.φ                B.a7mhvjx               C.{a，c}            D.{b，e}
A

8.與函數(shù)y＝x有相同圖象的一個函數(shù)是(89(2)3分)
A.y＝       B.y＝           C.y＝a(a＞0且a≠1)  D.y＝log_aa^x(a＞0且a≠1)
D

9.已知f(x)＝8＋2x－x²，如果g(x)＝f(2－x²)，那么g(x)(89(11)3分)
A.在區(qū)間(－1，0)上是減函數(shù)              B.在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù)
C.在區(qū)間(－2，0)上是增函數(shù)              D.在區(qū)間(0，2)上是增函數(shù)
A

10.方程2的解是(90(1)3分)
A.x＝              B.x＝            C.x＝            D.x＝9
A

11.設(shè)全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，則＝(90(9)3分)
A.φ                B.{(2，3)}          C.(2，3)            D.{(x，y)|y＝x＋1}
B

12.如果實數(shù)x，y滿足等式(x－2)²＋y²＝3，那么的最大值是(90(10)3分)
A.                 B.               C.               D.
D

13.函數(shù)f(x)和g(x)的定義域為R，“f(x)和g(x)均為奇函數(shù)”是“f(x)與g(x)的積為偶函數(shù)”的(90上海)
A.必要條件但非充分條件                  B.充分條件但非必要條件
C.充分必要條件                          D.非充分條件也非必要條件
B

14.如果log_a2＞log_b2＞0，那么(90廣東)
A.1＜a＜b           B.1＜b＜a           C.0＜a＜b＜1        D.0＜b＜a＜1
A

15.函數(shù)y＝(x＋4)²在某區(qū)間上是減函數(shù)，這區(qū)間可以是(90年廣東)
A.(－∞，－4]       B.[－4，＋∞)       C.[4，＋∞)         D.(－∞，4]
A

16.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是(91(13)3分)
A.增函數(shù)且最小值為－5                   B.增函數(shù)且最大值為－5
C.減函數(shù)且最小值為－5                   D.減函數(shù)且最大值為－5
B

17.設(shè)全集為R，f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，M＝{x|f(x)≠0}，N＝{x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)＝0}等于(91年⒂3分)
A.            B.∪N            C.∪N            D.
D

18.等于(92(1)3分)
A.                 B.1                 C.                 D.2
A

19.圖中曲線是冪函數(shù)y＝xⁿ在第一象限的圖象，已知n取±2，±四個值，則相應(yīng)于曲線c₁，c₂，c₃，c₄的n依次是(92(6)3分)
A.－2，－，2     B.2，，－2
C.－，－2，2，    D.，2，－2，－
B

20.函數(shù)y＝的反函數(shù)(92(16)3分)
A.是奇函數(shù)，它在(0，＋∞)上是減函數(shù)     B.是偶函數(shù)，它在(0，＋∞)上是減函數(shù)
C.是奇函數(shù)，它在(0，＋∞)上是增函數(shù)     D.是偶函數(shù)，它在(0，＋∞)上是增函數(shù)
C

21.如果函數(shù)f(x)＝x²＋bx＋c對任意實數(shù)t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(92(17)3分)
A.f(2)＜f(1)＜f(4)                       B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1)                       D.f(4)＜f(2)＜f(1)
A

22.當0＜a＜1時，函數(shù)y＝a^x和y＝(a－1)x²的圖象只可能是(92年上海)
A.                  B.                  C.                  D.




D

23.設(shè)全集I＝R，集合M＝{x|＞2}，N＝|log_x7＞log₃7}，那么M∩＝(92年三南)
A.{x|x＜－2}        B.{x|x＜－2或x≥3} C.{x|x≥3}          D.{x|－2≤x＜3}
B

24.對于定義域為R的任何奇函數(shù)f(x)都有(92年三南)
A.f(x)－f(－x)＞0(x∈R)                  B.f(x)－f(－x)≤0(x∈R)
C.f(x)f(－x)≤0(x∈R)                    D.f(x)f(－x)＞0(x∈R)
C

25.F(x)＝[1＋]f(x)，(x≠0)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于0，則f(x)(93(8)3分)
A.是奇函數(shù)                              B.是偶函數(shù)
C.可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù)            D.不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
A

26.設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且3^a＝4^b＝6^c，那么(93(16)3分)
A.           B.           C.           D.
B

27.函數(shù)y＝x＋a與y＝log_ax的圖象可能是(93年上海)
A.                  B.                  C.                  D.




C

28.集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，則(93年三南)
A.M＝N             B.NÌM             C.MÌN             D.M∩N＝φ
C

29.設(shè)全集I＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，則＝(94(1)4分)
A.{0}               B.{0，1}            C.{0，1，4}         D.{0，1，2，3，4}
C

30.設(shè)函數(shù)f(x)＝1－(－1≤x≤0)，則函數(shù)y＝f^－1(x)的圖象是(94(12)5分)
A.         y        B.  y       1       C.   y              D. y      1   x
              1                     x      1                 O
                      －1
    －1    O    x                         O         1   x  －1
B

31.定義在R上的任意函數(shù)f(x)都可以表示成一個奇函數(shù)g(x)與一個偶函數(shù)h(x)之和，如果f(x)＝lg(10^x＋1)，x∈R，那么(94(15)5分)
A.g(x)＝x，h(x)＝lg(10^x＋10^－x＋1)      B.g(x)＝，h(x)＝
C.g(x)＝，h(x)＝lg(10^x＋1)－         D.g(x)＝－，h(x)＝
C

32.當a＞1時，函數(shù)y＝log_ax和y＝(1－a)x的圖像只可能是(94上海)
A.    y             B.    y             C.  y               D.    y
   0    1       x      0    1     x         0    1     x          0    1     x


B

33.設(shè)I是全集，集合P，Q滿足PÌQ，則下面結(jié)論中錯誤的是(94年上海)
A.P∪Q＝Q          B.∪Q＝I          C.P∩＝φ         D.
D

34.如果0＜a＜1，那么下列不等式中正確的是(94上海)
A.(1－a)＞(1－a) B.log_(1－a)(1＋a)＞0   C.(1－a)³＞(1＋a)²   D.(1－a)^1＋a＞1
A

35.已知I為全集，集合M，NÌI，若M∩N＝N，則(95(1)4分)
A.           B.ÍN               C.             D.ÊN
C

36.函數(shù)y＝－的圖象是(95(2)4分)
  A.   y          B.           y        C. y                D.        y

      O  1      x          －1    O  x     O   1       x       －1  O    x

B

37.已知y＝log_a(2－ax)在[0，1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是(95(11)5分)
A.(0，1)          B.(1，2)              C.(0，2)            D.[2，＋∞)
B

38.如果P＝{x|(x－1)(2x－5)＜0}，Q＝{x|0＜x＜10}，那么(95年上海)
A.P∩Q＝φ        B.PÌQ                C.QÌP              D.P∪Q＝R
B

39.已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，則(96(1)4分)
A.I＝A∪B        B.I＝∪B            C.I＝A∪          D.I＝
C

40.當a＞1時，同一直角坐標系中，函數(shù)y＝a^－x，y＝log_ax的圖象是(96(2)4分)
A.     y          B.     y              C. y                D.   y
       1              1                   1                   1

    O    1     x      O   1       x       O     1     x       O  1       x
A

41.設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1，f(x)＝x，則f(7.5)＝(96(15)5分)
A.0.5             B.－0.5               C.1.5               D.－1.5
B

42.如果log_a3＞log_b3＞0，那么a、b間的關(guān)系為(96上海)
A.0＜a＜b＜1      B.1＜a＜b             C.0＜b＜a＜1        D.1＜b＜a
B

43.在下列圖像中，二次函數(shù)y＝ax²＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝()^x的圖像只可能是(96上海)
A.                B.                    C.                  D.



A

44.設(shè)集合M＝{x|0≤x＜2}，集合N＝{x|x²－2x－3＜0}，集合M∩N＝(97(1)4分)
A.{x|0≤x＜1}     B.{x|0≤x＜2}         C.{x|0≤x≤1}       D.{x|0≤x≤2}
B

45.將y＝2^x的圖象
A.先向左平行移動1個單位                B.先向右平行移動1個單位
C.先向上平行移動1個單位                D.先向下平行移動1個單位
再作關(guān)于直線y＝x對稱的圖象，可得到函數(shù)y＝log₂(x＋1)的圖象.(97(7)4分)
D

46.定義在區(qū)間(－∞，＋∞)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)；偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，＋∞)的圖象與f(x)重合.設(shè)a＞b＞0，給出下列不等式:
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)             ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)             ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
其中成立的是(97(13)5分)
A.①與④          B.②與③              C.①與③            D.②與④
C

47.三個數(shù)6^0.7，0.7⁶，log_0.76的大小關(guān)系為(97上海)
A.0.7⁶＜log_0.76＜6^0.7                                        B.0.7⁶＜6^0.7＜log_0.76 
C.log_0.76＜6^0.7＜0.7⁶                                        D.log_0.76＜0.7⁶＜6^0.7
D

48.函數(shù)y＝a^|x|(a＞1)的圖像是(98(2)4分)
A.   y            B.    y               C.    y             D.     y
                           1                  1                    1
      o        x         o        x        o        x             o      x
B

49.函數(shù)f(x)＝(x≠0)的反函數(shù)f^－1(x)＝(98(5)4分)
A.x(x≠0)         B.(x≠0)             C.－x(x≠0)         D.－(x≠0)
B

50.如果實數(shù)x，y滿足x²＋y²＝1，那么(1－xy)(1＋xy)有(98年廣東)
A.最小值和最大值1                     B.最大值1和最小值
C.最小值而沒有最大值                   D.最大值1而沒有最小值
B

51.如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是
A.(M∩P)∩S      B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩     D.(M∩P)∪(99(1)4分)
C

52.已知映射f:AàB，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且對任意的a∈A，在B中和它對應(yīng)的元素是|a|，則集合B中的元素的個數(shù)是(99(2)4分)
A.4               B.5                   C.6                 D.7
A

53.若函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，則g(b)＝(99(3)4分)
A.a               B.a－1                C.b                 D.b－1
A

54.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2ⁿ＋n，則在映射f下，象20的原象是(2000⑴5分)
A.2               B.3                   C.4                 D.5
C

55.《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，此項稅款按下表分別累進計算.

全月應(yīng)納稅所得額

稅率

不超過500元的部分

5%

超過500元至2000元的部分

10%

超過2000元至5000元的部分

15%

…

…

某人一月份應(yīng)交納此項稅款26.78元，則他的當月工資、薪金所得介于(2000⑹5分)
A.800～900元      B.900～1200元        C.1200～1500元     D.1500～2800元
C

56.設(shè)全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么是(2000春京、皖(2)4分)
A.Φ              B.7uulrdo                 C.{a，c}            D.{b，e}
A

57.已知f(x⁶)＝log₂x，那么f(8)等于(2000春京、皖)
A.               B.8                   C.18                D.
D

58.函數(shù)y＝lg|x|(2000春京、皖(7)4分)
A.是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增
B.是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減
C.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增
D.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減
B

59.已知函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d的圖象如右圖，則(2000春京、皖(14)5分)
A.b∈(－∞，0)    B.b∈(0，1)           C.b∈(1，2)         D.b∈(2，＋∞)
A

60.若集合S＝{y|y＝3^x，x∈R}，T＝{y|y＝x²－1，x∈R}，則S∩T是(2000上海(15)4分)
A.S               B.T                   C.Φ                D.有限集
A

61.已知集合A＝{1，2，3，4}，那么A的真子集的個數(shù)是(2000廣東)
A.15              B.16                  C.3                 D.4
A

62.設(shè)集合A和B都是坐標平面上的點集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f:A→B把集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，則在映射f下，象(2，1)的原象是(2000年江西、天津(1)5分)
A.(3，1)          B.()               C.()           D.(1，3)
B

63.集合M＝{1，2，3，4，5}的子集個數(shù)是(2001年春京、皖、蒙(1)5分)
A.32              B.31                  C.16                D.15
A

64.函數(shù)f(x)＝a^x(a＞0且a≠1)對于任意的實數(shù)x、y都有(2001春京、皖、蒙(2)5分)
A.f(xy)＝f(x)f(y)                         B.f(xy)＝f(x)＋f(y)
C.f(x＋y)＝f(x)f(y)                       D.f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
C

65.函數(shù)y＝－的反函數(shù)是(2001春京、皖、蒙(4)5分)
A.y＝x²－1(－1≤x≤0)                    B.y＝x²－1(0≤x≤1)
C.y＝1－x²(x≤0)                         D.y＝1－x²(0≤x≤1)
C

66.已知f(x⁶)＝log₂x，那么f(8)等于(2001春京、皖、蒙(7)5分)
A.               B.8                   C.18                D.
D

67.若定義在區(qū)間(－1， 0) 內(nèi)的函數(shù)f(x)＝log_2a(x＋1) 滿足f(x)＞0， 則a的取值范圍是(2001年(4)5分)
A.(，＋∞)       B.(0，]              C.(0，)            D.(0，＋∞)
C

68.設(shè)f(x)、g(x)都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個命題:(2001年(10)5分)
①若f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)－g(x)單調(diào)遞增;
②若f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)－g(x)單調(diào)遞增;
③若f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)－g(x)單調(diào)遞減;
④若f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)－g(x)單調(diào)遞減;
其中，正確的命題是
A.②③            B.①④                C.①③              D.②④
A

69.滿足條件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的個數(shù)是(2002年北京(1)5分)
A.1               B.2                   C.3                 D.4
B

70.下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間(，π)上為減函數(shù)的是(2002年北京(3)5分)
A.y＝cos²x         B.y＝2|sinx|           C.y＝()^cosx         D.y＝－cotx
B

71.如圖所示，f_i(x)(i＝1，2，3，4)是定義在[0， 1]上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對[0， 1]中任意的x₁和x₂，任意l∈[0， 1]， f[lx₁＋(1－l)x₂]≤lf(x₁)＋(1－l)f(x₂)恒成立”的只有(2002年北京(12)5分)





A.f₁(x)， f₃(x)     B.f₂(x)                C.f₂(x)， f₃(x)       D.f₄(x)
A

72.一般地，家庭用電量(千瓦時)與氣溫(℃)有一定的關(guān)系，用圖(1)表示某年12個月中每月的平均氣溫，圖(2)表示某家庭在這年12個月中每月的用電量，根據(jù)這些信息，以下關(guān)于該家庭用電量與氣溫間關(guān)系的敘述中，正確的是(2002年上海(16)4分)








                      圖(1)                               圖(2)
A.氣溫最高時，用電量最多                B.氣溫最低時，用電量最少
C.當氣溫大于某一值時，用電量隨氣溫增高而增加
D.當氣溫小于某一值時，用電量隨氣溫降低而增加
C

73.集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，則(2002年全國(5)、廣東(5)、天津(6)5分)
A.M＝N           B.MÌN               C.NÌM             D.M∩N＝φ
B

74.函數(shù)f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函數(shù)的充要條件是(2002年廣東(7)5分)
A.ab＝0           B.a＋b＝0             C.a＝b              D.a²＋b²＝0
D

75.函數(shù)y＝1－(2002年廣東(9)5分)
A.在(－1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增               B.在(－1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減
C.在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增                 D.在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減
C

76.函數(shù)y＝x²＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是單調(diào)函數(shù)的充要條件是(2002年全國(9)、天津(8)5分)
A.b≥0            B.b≤0                C.b＞0              D.b＜0
A

77.據(jù)2002年3月9日九屆人大五次會議《政府工作報告》：“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達到95 933億元，比上年增長7.3%”，如果“十?五”期間(2001年――2005年)每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十?五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為(2002年全國(12)、廣東(12)、天津(12)5分)
A.115 000億元    B.120 000億元        C.127 000億元      D.135 000億元
C

78. 函數(shù)y＝1－的圖像是(2002年全國(10)5分)






A．               B.                    C.                  D.
B

79.若集合M＝{y|y＝2^－x}，P＝{y|y＝}，則M∩P＝(2003年春北京(1)5分)
A．{y|y＞1}       B．{y|y≥1}           C．{y|y＞0}         D．{y|y≥0}
C

80.若f(x)＝，則方程f(4x)＝x的根是(2003年春北京(2)5分)
A．              B．－                C．2                D．－2
A

81.關(guān)于函數(shù)f(x)＝(sinx)²－，有下面四個結(jié)論：
(1)f(x)是奇函數(shù)                          (2)當x＞2003時， f(x)＞恒成立
(3)f(x)的最大值是                       (4)f(x)的最小值是－
其中正確結(jié)論的個數(shù)為(2003年春上海(16)4分)
A.1個            B.2個                C.3個              D.4個
A

1. 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是[0，1]，則函數(shù)f(x²)的定義域為________.(85(10)4分)
答：[－1，1]

2. 已知圓的方程為x²＋(y－2)²＝9，用平行于x軸的直線把圓分成上下兩個半圓，則以上半圓(包括端點)為圖像的函數(shù)表達式為_____________(85廣東)
答：y＝2＋

3. 方程的解是__________.(86(11)4分)
答：x₁＝

4. 方程9^－x－2?3^1－x＝27的解是_________.(88(17)4分)
答：x＝－2

5. 函數(shù)y＝的反函數(shù)的定義域是__________.(89(15)4分)
答：(－1，1)

6. 函數(shù)y＝的值域為_______________(89廣東)
答：y≥0

7. 函數(shù)y＝的定義域是________________(90上海)
答：[－4，－2)∪(－2，＋∞)

8. 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，若當x≤1時，y＝x²＋1，則當x＞1時，y＝_________(91年上海)
答：(x－2)²＋1

9. 設(shè)函數(shù)f(x)＝x²＋x＋的定義域是[n，n＋1](n是自然數(shù))，那么在f(x)的值域中共有_______個整數(shù)(91年三南)
答：2n＋2

10.    方程＝3的解是___________.(92(19)3分)
答：x＝－1

11.    設(shè)含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中由3個元素組成的子集數(shù)為T，則的值為__________.(92(21)3分)
答：

12.    已知函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)為f^－1(x)＝－1(x≥0)，那么函數(shù)f(x)的定義域為_________(92上海)
答：x≥－1

13.  設(shè)f(x)＝4^x－2^x＋1(x≥0)，f^－1(0)＝_________.(93(23)3分)
答：1
注:原題中無條件x≥0，此時f(x)不存在反函數(shù).

14.  函數(shù)y＝x²－2x＋3的最小值是__________(93年上海)
答：2

15.  在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a₁，a₂，…a_n，共n個數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測物理量的“最佳近似值”a是這樣一個量:與其它近似值比較，a與各數(shù)據(jù)的差的平方和最小，依此規(guī)定，從a₁，a₂，…a_n推出的a＝_______. (94(20)4分)
答：

16.  函數(shù)y＝lg的定義域是________________(95上海)
答：(lg2，＋∞)

17.  1992年底世界人口達到54.8億，若人口的年平均增長率為x%，2000年底世界人口數(shù)為y(億)，那么y與x的關(guān)系式為___________(96上海)
答：y＝54.8(1＋x%)⁸

18.  方程log₂(9^x－5)＝log₂(3^x－2)＋2的解是x＝________(96上海)
答：1

19.  函數(shù)y＝的定義域為____________(96上海)
答：(1，2)

20.  lg20＋log₁₀₀25＝________(98上海)
答：2

21.  函數(shù)f(x)＝a^x(a＞0，a≠1)在區(qū)間[1，2]上的最大值比最小值大，則a＝______(98上海)
答：

22.  函數(shù)y＝的最大值是__________(98年上海)
答：4

23.  函數(shù)y＝log₂的定義域為____________(2000上海(2)4分)
答：(，3)

24.  已知f(x)＝2^x＋b的反函數(shù)為y＝f^－1(x)，若y＝f^－1(x)的圖像經(jīng)過點Q(5，2)，則b＝_______(2000上海(5)4分)
答：1

25.  根據(jù)上海市人大十一屆三次會議上的市政府工作報告，1999年上海市完成GDP(GDP是值國內(nèi)生產(chǎn)總值)4035億元，2000年上海市GDP預(yù)期增長9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增長率將控制在0.08%，若GDP與人口均按這樣的速度增長，則要使本市人均GDP達到或超過1999年的2倍，至少需要_________年(2000上海(6)4分)
(按：1999年本市常住人口總數(shù)約1300萬)
答：9

26.  設(shè)函數(shù)y＝f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，它在區(qū)間[0，1]上的圖像為如圖所示的線段AB，則在區(qū)間[1，2]上，f(x)＝_____(2000上海(8)4分)
答：x

27.  函數(shù)的反函數(shù)______．(2001年春上海(1)4分)
答：－(x≥1)

28.  關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)有以下命題：(2001年春上海(11)4分)
  (1)對任意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；
  (2)不存在φ，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
  (3)存在φ，使f(x)是奇函數(shù)；
  (4)對任意的φ，f(x)都不是偶函數(shù)。
  其中一個假命題的序號是_______。因為當φ=_______時，該命題的結(jié)論不成立。
答：(1)，kπ(k∈Z)；(1)，＋kπ(k∈Z)；(4)，＋kπ(k∈Z)等。(兩個空格全填對時才能得分，其中k也可以寫成任何整數(shù))

29.  方程log₃(1－2?3^x)＝2x＋1的解x＝_____________.(2002年上海(3)4分)
答：－1

30.  已知函數(shù)y＝f(x)(定義域為D，值域為A)有反函數(shù)y＝f^－1(x)，則方程f(x)＝0有解x＝a，且f(x)＞x(x∈D)的充要條件是y＝f^－1(x)滿足___________(2002年上海(12)4分)
答：_f^－1(0)＝a且f^－1(x)＜x(x∈A)；y＝f^－1(x)的圖像在直線y＝x的下方，且與y軸的交點為(0，a)；……

31.  函數(shù)y＝(x∈(－1，＋∞))圖象與其反函數(shù)圖象的交點坐標為________。(2002年天津(13)4分)
答：(0，0)，(1，1)

32.  函數(shù)y＝a^x在[0，1]上的最大值和最小值之和為3，則a＝______(2002年全國(13)4分)
答：2

33.  已知函數(shù)f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝________(2002年全國(16)、廣東(16)、天津(16)4分)
答：

34.  若存在常數(shù)p＞0，使得函數(shù)f(x)滿足f(px)＝f(px－)(x∈R)，則f(x)的一個正周期為_________.(2003年春北京(16)4分)
答：(填的任何一個正整數(shù)倍均可)

35.  已知函數(shù)f(x)＝＋1，則f^－1(3)＝___________.(2003年春上海(1)4分)
答：4

36.  已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}且AÍB，則實數(shù)a的取值范圍是____________.(2003年春上海(5)4分)
答：(－∞，－2)

37.  若函數(shù)y＝x²＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則b＝__________.(2003年春上海(11)4分)
答：6

1. 解方程  log₄(3－x)＋log_0.25(3＋x)＝log₄(1－x)＋log_0.25(2x＋1).(85(11)7分)
解：由原對數(shù)方程有意義，可得x的取值范圍是－0.5＜x＜1，
原方程化為log₄    即
解這個方程得x₁＝0，x₂＝7.
其中x₁＝0∈(－，1)是原方程的解，x₂＝7Ï(－，1)，應(yīng)舍去.

2. 設(shè)a，b是兩個實數(shù)，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n是整數(shù)}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m²＋15，m是整數(shù)}，C＝{(x，y)|x²＋y²≤144}是xoy平面內(nèi)的集合，討論是否存在a和b使得①A∩B≠φ，②(a，b)∈C同時成立.(85(17)12分)
解法一:如果存在實數(shù)a和b使得①式成立，則存在整數(shù)m和n使得
(n，na＋b)＝(m，3m²＋15)
即n＝m，   na＋b＝3m²＋15
∴na＋b＝3n²＋15
這個等式表明點P(a，b)在直線l:nx＋y＝3n²＋15上
原點O到直線l的距離d＝
∴d≥12，當且僅當n²＝3時取等號，而n∈Z，∴n²≠3，故只有d＞12
∴點P到原點的距離|PO|＝＞d＞12，即a²＋b²＞144.
而②成立要求a²＋b²≤144.
由此可知，同時滿足①②的a，b不存在.
解法二:如果存在實數(shù)a，b能同時滿足①②，
同解法一，由①成立知，存在整數(shù)n使得na＋b＝3n²＋15，即b＝3n²－na＋15，    (*)
由②成立得a²＋b²≤144
將(*)式代入上式，并按a整理得關(guān)于a的二次不等式
    (1＋n²)a²－2n(3n²＋15)a＋(3n²＋15)²－144≤0
它的判別式△＝4n²(3n²＋15)²－4(1＋n²)[(3n²＋15)²－144]＝－36(n²－3)
∵n∈Z，∴n²－3≠0，于是△＜0
又因1＋n²＞0，故這個關(guān)于a的不等式不可能有實數(shù)解
即是說不存在實數(shù)a，b，使得①②同時成立.
解法三:如果存在實數(shù)a，b能同時滿足①②，同解法一，由①成立知，存在整數(shù)n使得
3n²－an－(b－15)＝0                                       (*)
于是它的判別式應(yīng)非負，即△＝a²＋12b－180≥0               (**)
由此得12b－180≥－a²
由②成立知a²＋b²≤144，                                  (***)
即         －a²≥b²－144
因此有12b－180≥b²－144
即(b－6)²≤0
只有b＝6
將b＝6代入判別式(**)得出a²≥108
但將b＝6代入(***)式得出a²≤108
于是只有a²＝108，此時從(*)式解出n＝ÏZ
所以不存在實數(shù)a，b，使得①②同時成立.

3. 已知集合A和集合B各含有12個元素，A∩B含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù):①CÍA∪B，且C中含有3個元素，②C∩A≠φ(φ表示空集)(86(20)10分)
解法一:以為A，B各含有12個元素，A∩B含有4個元素，因此A∪B的元素個數(shù)是12＋12－4＝20個，所以滿足條件①的集合個數(shù)是C，在上面集合中，還滿足A∩C＝φ的集合C的個數(shù)是C，因此所求集合C的個數(shù)為＝1084.
解法二:由題目條件可知，屬于B而不屬于A的元素個數(shù)是12－4＝8，因此，在A∪B中只含A中1個元素的所求集合C的個數(shù)為C；同理，含A中2個元素和3個元素的集合C的個數(shù)分別為C和C，總數(shù)為C＝1084.

4. 給定實數(shù)a，a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y＝(x∈R且x≠)，證明:
①經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點的直線不平行于x軸；
②這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖形.(88(24)12分)
證法一:①設(shè)M₁(x₁，y₁)，M₂(x₂，y₂)是這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點，則x₁≠x₂，且
y₂－y₁＝
     ＝
∵a≠1且x₁≠x₂，∴y₂－y₁≠0
從而直線M₁M₂的斜率k＝≠0，因此直線M₁M₂不平行于x軸.
②設(shè)點P(x₁，y₁)是這個函數(shù)的圖象上任意一點，則x₁≠        (i)
易知點P(x₁，y₁)關(guān)于直線y＝x的對稱點P₁的坐標為(y₁，x₁)
由(i)式得  y₁(ax₁－1)＝x₁－1
變形得     x₁(ay₁－1)＝y(tǒng)₁－1                                        (ii)
假如ay₁－1＝0，則y₁≠，代入(i)得  Þ a＝1
這與已知a≠1矛盾，∴ay₁－1≠0
于是由(ii)式得  x₁=  這說明點P₁(y₁，x₁)也在已知函數(shù)的圖象上
因此這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖形.
證法二:①設(shè)M₁(x₁，y₁)，M₂(x₂，y₂)，是這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點，則x₁≠x₂，
假如直線M₁M₂平行于x軸，那么y₁＝y(tǒng)₂，即
去分母整理得  a(x₁－x₂)＝x₁－x₂，
∵x₁≠x₂，所以a＝1，這與已知矛盾，因此M₁M₂不平行于x軸.
②先求所給函數(shù)的反函數(shù).
由  y＝  (x∈R且x≠)
得  y(ax－1)＝x－1    即  x(ay－1)＝y(tǒng)－1
假如ay－1＝0，則y＝，代入所給函數(shù)的解析式，得
即ax－a＝ax－1    所以a＝1，這與已知矛盾，故ay－1≠0
于是x＝
所以原函數(shù)的反函數(shù)為y＝(x≠)，與原函數(shù)相同.
由于函數(shù)y＝f(x)的圖象和它的反函數(shù)y＝f^－1(x)的圖象關(guān)于y＝x對稱，
所以函數(shù) y＝ (x∈R且x≠)的圖象關(guān)于y＝x對稱.
證法三:①任取一條與x軸平行的直線l，設(shè)其方程為y＝c(c為常數(shù))
下面考慮l與所給函數(shù)的圖象是否相交，以及交點個數(shù)的情況:
將y＝c代入y＝
整理得    (ca－1)x＝c－1
若ca－1＝0，即c＝時，上式變?yōu)?＝c－1，即c＝1 Þ a＝1
這與已知矛盾，故此時l與函數(shù)圖象無交點；
當ca－1≠0時，得x＝
這說明原方程只有一個解，從而直線l與函數(shù)圖象只有一個交點(，c)，
綜上所述，平行于x軸的直線l不可能同時經(jīng)過所給函數(shù)圖象上的兩個不同點，
因此，經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩點的直線不平行于x軸.

5. 已知a＞0且a≠1，試求使方程log_a(x－ak)＝log_a2(x²－a²)有解的k的取值范圍.(89(22)12分)
解法一:由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，原方程的解x應(yīng)滿足

當①②同時成立時，③顯然成立，因此只須聯(lián)立解①②即可.
由①得2kx＝a(1＋k²)                 ④
當k＝0時，由a＞0知④無解，因而原方程無解；
當k≠0時，④的解為x＝       ⑤
將⑤代入②得  ＞ak
當k＜0時得k²＞1，即k＜－1；                                  y   y₁
當k＞0時得k²＜1，即0＜k＜1；                         y₂                y₂
綜合得k∈(－∞，－1)∪(0，1)時原方程有解.
解法二:原方程等價于  x－ak＝  (x²＞a²)         ak  －a   o    a     x
記y₁＝x－ak，y₂＝ (x≠±a)
則y₂是雙曲線x²－y²＝a²在雙曲線上方的部分其漸近線為y＝±x，
  y₁是一條在x軸上截距為ak的直線，且平行于雙曲線的一條漸近線，
如圖，當y₁與y₂有公共點時原方程有解，可得
ak＜－a或0＜ak＜a，
由a＞0得k＜－1或0＜k＜1；
即當k∈(－∞，－1)∪(0，1)時原方程有解.
注:用數(shù)形結(jié)合法解題時應(yīng)說明或論證出圖象與本題有關(guān)的主要性質(zhì)，否則要扣分.

6. 設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z，用I_k表示區(qū)間(2k－1，2k＋1]，已知當x∈I₀時，f(x)＝x².(89(24)10分)
①求f(x)在I_k上的解析表達式；
②對自然數(shù)k，求集合M_k＝{a|使方程f(x)＝ax在I_k上有兩個不相等的實根}
解：①解:設(shè)x∈I_k，則x－2k∈I₀，又f(x)是以2為周期的函數(shù)，
∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)²，
即對于k∈Z，當x∈I_k時，f(x)＝(x－2k)²，
②解法一:當k∈N且x∈I_k時，由①可得方程為(x－2k)²＝ax
整理得    x²－(4k＋a)x＋4k²＝0
它的判別式△＝(4k＋a)－16k²＝a(a＋8k)
且  x_1，2＝
于是，f(x)＝ax在區(qū)間I_k上恰有兩個不相等實數(shù)根的充要條件是a滿足

化簡得
由(i)知a＞0或a＜－8k   (∵k∈N，∴k＞0)
當a＞0時，因2＋a＞2－a，故從(ii)(iii)可得 a(a＋8k)≤(2－a)²
即       即      即0＜a≤
當a＜－8k時，2＋a＜2－8k＜0，易知 a(a＋8k)＜(2＋a)² 無解，
綜上所述，a應(yīng)滿足0＜a≤，故所求集合為 M_k＝{a|0＜a≤}
解法二:由①可得方程為(x－2k)²＝ax        (i)                y
記y₁＝ax，y₂＝(x－2k)²，                                                y₁    y₂
要使方程(i)在I_k＝(2k－1，2k＋1]上有兩個相異實數(shù)解，      1
只須y₁與y₂的圖象在內(nèi)有兩個相異交點.                       o               I_k    x
當x∈I_k時，y₁是一條線段，其所在直線過原點，斜率為a，
y₂是一段拋物線，頂點在(2k，0)，開口向上，如圖:
當y₁夾在x軸與l之間時滿足題意，其斜率應(yīng)滿足0＜a≤.
故所求集合為 M_k＝{a|0＜a≤}

7. 設(shè)f(x)＝lg，其中a是實數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)，且n≥2.
①如果f(x)當x∈(－∞，1]時有意義，求a的取值范圍；
②如果a∈(0，1]，證明2f(x)＜f(2x)當x≠0時成立.(90(24)10分)
①解:f(x)當x∈(－∞，1]時有意義的條件是
1＋2^x＋3^x＋……＋(n－1)^x＋n^xa＞0      x∈(－∞，1]  n≥2
即a＞－[(]   x∈(－∞，1]         (i)
因為 －()^x  (k＝1，2，3，……，n－1)在(－∞，1]上都是增函數(shù)，
所以－[(]在(－∞，1]上也都是增函數(shù)，
從而它在x＝1時取得最大值，為－[(.
因此(i)式等價于a＞－.
也就是的取值范圍為{a|a＞－}.
②證法一: 2f(x)＜f(2x)   a∈(0，1]， x≠0，即
[1＋2^x＋3^x＋……＋(n－1)^x＋n^xa]²＜n[1＋2^2x＋3^2x＋……＋(n－1)^2x＋n^2xa]
                                            a∈(0，1]，x≠0，
現(xiàn)在用數(shù)學歸納法證明該不等式:

試題詳情