13．已知橢圓C：()，其離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為。(1)求之值；(2)設(shè)點A坐標(biāo)為(6, 0)，B為橢圓C上的動點，以A為直角頂點，作等腰直角△ABP(字母A，B，P按順時針方向排列)，求P點的軌跡方程。

解：(1)設(shè)c為橢圓的焦半徑，則．　　　 ……………………(5分)

于是有a＝5，b＝3．

(2) 解法一：設(shè)B點坐標(biāo)為，P點坐標(biāo)為．于是有

因為，所以有．　　　　　 (A1 )

又因為ABP為等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 　

．　　　　　　　 (A2 )　 …………(10分)

由(A1)推出，代入(A2)，得　 ……(15分)

從而有 ，即(不合題意，舍去)或．

代入橢圓方程，即得動點P的軌跡方程　　　 …………(20分)

解法二： 設(shè),，則以A為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程為

．

設(shè)AB與x軸正方向夾角為，B點的參數(shù)表示為，　 …………(10分)

P點的參數(shù)表示為．

從上面兩式，得到．　　　 ……………………(15分)

又由于B點在橢圓上，可得．　 ……………………(20分)

此即為P點的軌跡方程．

12．在邊長為1的正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上．AD的長度的最小值為　　　　 ．

解：設(shè)，作△ADE關(guān)于DE的對稱圖形，A的對稱點G落在BC上．在△DGB中，

當(dāng)時，即．

11．已知，直線與

的交點在直線上，則　　　　 ．

解：由已知可知，可設(shè)兩直線的交點為，且為方程

，

的兩個根，即為方程

的兩個根．因此

，

即0．

10． 設(shè)實系數(shù)一元二次方程有兩個相異實根，其中一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是　　　　 ．

解： 根據(jù)題意，設(shè)兩個相異的實根為，且，則

，．

于是有 ，也即有

．

故有，即取值范圍為．

9．設(shè)，則．

解： ．

8．設(shè)為非負(fù)實數(shù)，滿足，則

＝　　　　　　　　　 ．

解：顯然，由于，有

．于是有，故

．

7．＝　 　　　　　　．

解：根據(jù)題意要求，，．于是有．因此

．因此答案為 1．

6．圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周)．若AM⊥MP，則P點形成的軌跡的長度為(　 　)

A． 　　　　　B． 　　　　C．　 3　　　　　 D．

解：建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)A(0,-1,0), B(0,1,0),, ，P(x,y,0)．于是有由于AM⊥MP，所以

，即，此為P點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為．　 因此 選 B．

5．已知是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象與軸交點的縱坐標(biāo)的最大值是(　　 )

A．　　　 B． 2　 　C． 　　D． 4

解：由已知條件可知，，函數(shù)圖象與軸交點的縱坐標(biāo)為．令，則

．因此 選 A．

4．已知P為三角形ABC內(nèi)部任一點(不包括邊界)，且滿足，則△ABC一定為(　　 )

A．直角三角形；B． 等邊三角形；C． 等腰直角三角形；D． 等腰三角形

解：因為，所以已知條件可改寫為．容易得到此三角形為等腰三角形．　　 因此 選 D．