數(shù)學(xué)綜合性試題常常是高考試卷中把關(guān)題和壓軸題。在高考中舉足輕重，高考的區(qū)分層次和選拔使命主要靠這類題型來完成預(yù)設(shè)目標(biāo)。目前的高考綜合題已經(jīng)由單純的知識疊加型轉(zhuǎn)化為知識、方法和能力綜合型尤其是創(chuàng)新能力型試題。綜合題是高考數(shù)學(xué)試題的精華部分，具有知識容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數(shù)學(xué)思想方法的運用以及要求考生具有一定的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力等特點。

17． 如右圖，E、F分別是正方體的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，則四邊形BFD₁E在該正方體的面上的射影可能是　　　.(要求：把可能的圖的序號都填上)

講解　 因為正方體是對稱的幾何體，所以四邊形BFD₁E在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB₁A₁、面ADD₁A₁上的射影.

四邊形BFD₁E在面ABCD和面ABB₁A₁上的射影相同，如圖2所示；

四邊形BFD₁E在該正方體對角面的ABC₁D₁內(nèi)，它在面ADD₁A₁上的射影顯然是一條線段，如圖3所示. 　故應(yīng)填23.

18　 直線被拋物線截得線段的中點坐標(biāo)是___________.

講解　由消去y，化簡得

設(shè)此方程二根為，所截線段的中點坐標(biāo)為，則

故 應(yīng)填 .

　　 19 橢圓上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，則當(dāng)m取最大值時，點P的坐標(biāo)是_____________________.

講解　 記橢圓的二焦點為，有

則知　　　　

　　 顯然當(dāng)，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.

　　 故應(yīng)填或

　　 20　 一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數(shù)解析式是，在杯內(nèi)放一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是___________.

講解　 依拋物線的對稱性可知，大圓的圓心在y軸上，并且圓與拋物線切于拋物線的頂點，從而可設(shè)大圓的方程為　

　　 由　　　　　　　　　

消去x，得　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)

解出　　 　　　　　　　或

　　 要使(*)式有且只有一個實數(shù)根，只要且只需要即

　　 再結(jié)合半徑，故應(yīng)填

16．　 若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積是　　　　(只需寫出一個可能的值)．

講解 　本題是一道很好的開放題，解題的開竅點是：每個面的三條棱是怎樣構(gòu)造的，依據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊”，就可否定{1，1，2}，從而得出{1，1，1}，{1，2，2}，{2，2，2}三種形態(tài)，再由這三類面構(gòu)造滿足題設(shè)條件的四面體，最后計算出這三個四面體的體積分別為： , ,，故應(yīng)填.、 、 中的一個即可.

15． 過長方體一個頂點的三條棱長為3、4、5, 且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的表面積是________.

講解　長方體的對角線就是外接球的直徑,　即有

從而　　，故應(yīng)填

14．　 的展開式中的系數(shù)是

_{講解　由知，所求系數(shù)應(yīng)為的x項的系數(shù)與項的系數(shù)的和，即有}

_{故應(yīng)填1008.}

13．某商場開展促銷活動，設(shè)計一種對獎券，號碼從000000到999999. 若號碼的奇位數(shù)字是不同的奇數(shù)，偶位數(shù)字均為偶數(shù)時，為中獎號碼，則中獎面(即中獎號碼占全部號碼的百分比)為　　　　.

　　 講解 　中獎號碼的排列方法是：　奇位數(shù)字上排不同的奇數(shù)有種方法，偶位數(shù)字上排偶數(shù)的方法有，從而中獎號碼共有種，于是中獎面為

　　 故應(yīng)填

12．以下四個命題：

①

②

③凸n邊形內(nèi)角和為 ④凸n邊形對角線的條數(shù)是

其中滿足“假設(shè)時命題成立，則當(dāng)n=k+1時命題也成立’’.但不滿足“當(dāng)(是題中給定的n的初始值)時命題成立”的命題序號是　　　　.

講解 ①當(dāng)n=3時，，不等式成立；

②　　　 當(dāng)n=1時，，但假設(shè)n=k時等式成立，則

　　；

③　，但假設(shè)成立，則

④　，假設(shè)成立，則

故應(yīng)填②③.

11．列中， , 則

　　 講解　 分類求和，得

　　 ，故應(yīng)填．

10．　已知是公差不為零的等差數(shù)列，如果是的前n項和，那么

　　 講解　特別取，有，于是有

　　　　　 故應(yīng)填2.

9．設(shè)非零復(fù)數(shù)滿足　，則代數(shù)式　的值是____________.

　　 講解　將已知方程變形為　，

解這個一元二次方程，得

　　 顯然有,　而,于是

　　 原式＝

　　 　＝

　　 �。�

　　 在上述解法中，“兩邊同除”的手法達(dá)到了集中變量的目的，這是減少變元的一個上策，值得重視.