1、含絕對(duì)值不等式的解法的基本思想是設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào)

常用方法是(1)利用；(2)由定義分段去絕對(duì)值；(3)平方法；(4)數(shù)形結(jié)合法等。

[例1]解關(guān)于的不等式：

(1);　 　(2)

解：(1)法一：原不等式

①或②

由①解得，由②解得

∴原不等式的解集是

法二：原等式等價(jià)于

∴原不等式的解集是

法三：設(shè)，由解得

，在同一坐標(biāo)系下作出它們的圖象，由圖得使的的范圍是，

∴原不等式的解集是

　(2)當(dāng)x≥a時(shí),不等式可化為

當(dāng)x<a時(shí),不等式可化為

。

✿提煉方法：題(1)法2比較簡(jiǎn)單,其轉(zhuǎn)化也不要求x+3>0.

題(2)的關(guān)鍵不是對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，而是去絕對(duì)值時(shí)必須對(duì)未知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個(gè)不等式組，最后對(duì)兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。

[例2](1)已知a≠0，求證：≥

(2)求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使不等式||＞1對(duì)滿(mǎn)足|a|＜1，|b|＜1的一切實(shí)數(shù)a、b恒成立；

(3)已知|a|＜1，若||＜1，求b的取值范圍.

證明(1)：當(dāng)|a|≤|b|時(shí)，不等式顯然成立

　　 當(dāng)|a|>|b|時(shí)，

　左=≥

≥=.

另法:當(dāng)

當(dāng),顯然成立.

(2)解：∵||＞1|1－abλ|²－|aλ－b|²

=(a²λ²－1)(b²－1)＞0.

∵b²＜1，∴a²λ²－1＜0對(duì)于任意滿(mǎn)足|a|＜1的a恒成立.

當(dāng)a=0時(shí)，a²λ²－1＜0成立；

當(dāng)a≠0時(shí)，要使λ²＜對(duì)于任意滿(mǎn)足|a|＜1的a恒成立，

而＞1，∴|λ|≤1.故－1≤λ≤1.

(3)||＜1()²＜1

(a+b)²＜(1+ab)²a²+b²－1－a²b²＜0

(a²－1)(b²－1)＜0.

∵|a|＜1，∴a²＜1.∴1－b²＞0，即－1＜b＜1.

[例3]

所以，原命題得證

[例4]設(shè)a，b∈R，關(guān)于x方程x²+ax+b=0的實(shí)根為α，β，若|a|+|b|<1，求證：

|α|<1，|β|<1。

解題思路分析：

在不等式、方程、函數(shù)的綜合題中，通常以函數(shù)為中心。

法一：令f(x)=x²+ax+b

則 f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0

　 f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0

又∵ 0|a|≤|a|+|b|<1

∴ -1<a<1　 ∴

∴ f(x)=0的兩根在(-1，1)內(nèi)，即|α|<1，|β|<1

法二：∵α+β=-a，αβ=b

∴ |α+β|+|αβ|=|a|+|b|<1

∴ |α|-|β|+|α||β|<|α+β|+|αβ|<1

∴(|α|-1)(|β|+1)<0

∵ |β|+1>0　 ∴ |α|<1. 同理：|β|<1

◆提煉方法：適度放縮是處理絕對(duì)值不等式的常用技巧，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的選擇等。

[研討.欣賞] (2002 江蘇)已知a>0，函數(shù)f(x)＝ax－bx．

(1)當(dāng)b>0時(shí)，若對(duì)任意x∈R都有f(x)1，證明a2；

(2)當(dāng)b>1時(shí)，證明對(duì)任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要條件是b－1a2；

(3)當(dāng)0<b1時(shí)，討論：對(duì)任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要條件．

證明：⑴對(duì)已知二次函數(shù)應(yīng)用配方法，得，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＝ ，于是，對(duì)任意x∈R都有f(x)1f(x)＝1 a2．

⑵用f(x)、f(x)表示f(x)在[0，1]上的最大值、最小值，則對(duì)任意x∈[0，1]，都有|f(x)|1當(dāng)且僅當(dāng)　　 (*)

而　　 f(x)＝－b(x－+，(x[0，1])

當(dāng)2b時(shí)，0<1，f(x)＝ ，f(x)＝f(0)或f(1)；

當(dāng)2b<a時(shí)，>1， f(x)＝ f(1)，f(x)＝f(0)．

于是(*)　 或

b－1a2或xb－1a2．

故對(duì)任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要條件是b－1a2．

(3)　由(2)的解答知，對(duì)任意x∈[0，1]，都有|f(x)|1當(dāng)且僅當(dāng)

　　　 或

0<a2b或2b<ab+1 0<ab+1．

故當(dāng)0<b1時(shí)，對(duì)任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要條件為0<ab+1．

點(diǎn)評(píng)：含參數(shù)的二次函數(shù)與絕對(duì)值不等式相綜合，這是歷年高考命題的熱點(diǎn)之一．在備考復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)重視這類(lèi)題型的解題技巧，掌握一些解題的套路，領(lǐng)悟當(dāng)中的變化技能，反復(fù)思考參數(shù)的處理藝術(shù)．

6.不等式的解集是___________

簡(jiǎn)答:1-4.CDAD;　 5. {x|x≥－1};　 6.

5．(2004年全國(guó)卷I)不等式|x+2|≥|x|的解集是　　　　 .

4. (2004全國(guó)IV)不等式的解集為　　　　　　　 (　 )

　　　　　　　　　 A．　 B．　 C．　　 D．

3.(2006北京)在下列四個(gè)函數(shù)中，滿(mǎn)足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間上的任意，恒成立”的只有(　 )

A.　　　　　　 B.

C.　　　　　 D.

2．(2004福建)命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件；

　 命題q：函數(shù)y=的定義域是(－∞，－1∪[3，+∞.則(　 )

　　　　　　　　　 A．“p或q”為假　　 　　B．“p且q”為真　

　　　　　　　　　　　 C．p真q假　　 D．p假q真

1.(2006江蘇) 設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是(　 )

A.　　　 B.

C.　　　D.

3. 解絕對(duì)值不等式的基本思想:去絕對(duì)值符號(hào);具體方法有:

,　

一般地:

(3)分段去絕對(duì)值，找出零點(diǎn),分段求解。

(4)數(shù)形結(jié)合.

2.絕對(duì)值的運(yùn)算性質(zhì)

(注意不等式成立的條件)

(注意不等式成立的條件)

;