1、設(shè)有如下三個命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長方體；③直四棱柱是直平行六面體。其中真命題的個數(shù)是(　 )

A、0　　　　　　 B、1　　　　　 C、2　　　　　　　 D、3

例1、如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為6，B₁C＝10，D為AC的中點E、F分別在側(cè)棱A₁A和BB₁上,且AF＝2BE＝BC．

(1)求證：AB₁∥平面C₁BD；

(2)求異面直線AB₁和BC₁所成的角；

(3)求直線AB₁到平面C₁BD的距離

(4)求過F、E、C的平面與棱柱下底面所成二面角的大�。�

例2、如圖．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC＝BC、D為AB的中點，平面ABC⊥平面ABB₁A₁，異面直線BC₁與AB₁互相垂直．

(1)求證：AB₁⊥CD；

(2)求證：AB₁⊥平面A₁CD；

(3)若AB₁＝5，求點A到平面A₁CD的距離．

例3如圖正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各棱均相等，D是BC上的一點，AD⊥C₁D

(1)求證：面ADC₁⊥側(cè)面BCC₁B₁

(2)求二面角C－AC₁－D的大小(用反正弦表示)；

(3)若AB=2，求直線A₁B與截面ADC₁之間的距離

例4.如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱AA₁＝2，D、E分別是CC₁與A₁B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.

　 (1)求A₁B與平面ABD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；

　 (2)求點A₁到平面AED的距離.

4、一個長方體共一頂點的三個面的面積分別為、、，這個長方體對角線的長是…(　)

(A)　　　　　　 (B)　　 　　　　(C)6　　　　　　 (D)

3、在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC₁的中點，Q是BC的中點,在A₁B₁上,則直線PQ與直線AM所成的角為______.

2、一個長方體的全面積是22，體積為8，則這樣的長方體…………………………………………( 　　)

(A)有一個　　　　　　　　　　　　　 (B)有兩個

(C)有無數(shù)多個　　　　　　　　　　　 (D)不存在

1、棱柱成為直棱柱的一個必要而不充分條件是…………………………………………………(　　 ).

(A)它的一條側(cè)棱垂直于底面　　　　　 (B)它的一條側(cè)棱與底面兩條邊垂直

(C)它的一個側(cè)面與底面都是矩形　　　 (D)它的一個側(cè)面與底面的一條邊垂直

1. 棱柱.

⑴①直棱柱側(cè)面積：(為底面周長，是高)該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.

②斜棱住側(cè)面積：(是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長)該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.

⑵{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}.

{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.

⑶棱柱具有的性質(zhì)：

①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.

②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.

③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.

注：①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱. (×)

(直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖)

②(直棱柱定義)棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.

⑷平行六面體：

定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.

[注]：四棱柱的對角線不一定相交于一點.

定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.

推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則.

推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為，則.

[注]： ①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形)

②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行)

③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.(×)(只能推出對角線相等，推不出底面為矩形)

④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. (兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件)

10. 設(shè)、b是滿足的實數(shù)，其中.

　 ⑴求證：；　　　 ⑵求證：.

解：(1)由只能

(2)由

由于a、b為正數(shù)，

，

即

[探索題]已知，求證：

(1) 中至少有一個不小于。

(2) 若時， ,求證：|p|≤1.

[分析]由于題(1)的結(jié)論是：三個函數(shù)值中“至少有一個不小于”，情況較復(fù)雜，會出現(xiàn)多個異向不等式組成的不等式組，一一證明十分繁冗，而結(jié)論的反面構(gòu)成三個同向不等式，結(jié)構(gòu)簡單，故采用反證法為宜。

證明(1)(反證法)假設(shè)都小于，則

，

而

，相互矛盾

∴中至少有一個不小于。

(2)由已知得，

∴∴

9.已知f(x)=x²－x+c定義在區(qū)間［0，1］上，x₁、x₂∈［0，1］，且x₁≠x₂，求證：

(1)f(0)=f(1)；

(2)| f(x₂)－f(x₁)|＜|x₁－x₂|；

(3)| f(x₁)－f(x₂)|＜；

(4)| f(x₁)－f(x₂)|≤.

證明：(1)f(0)=c，f(1)=c，

∴f(0)=f(1).

(2)| f(x₂)－f(x₁)|=|x₂－x₁||x₂+x₁－1|.

∵0≤x₁≤1，∴0≤x₂≤1，0＜x₁+x₂＜2(x₁≠x₂).

∴－1＜x₁+x₂－1＜1.

∴| f(x₂)－f(x₁)|＜|x₂－x₁|.

(3)不妨設(shè)x₂＞x₁，由(2)知

| f(x₂)－f(x₁)|＜x₂－x₁.　　　　　　　　　　　　　　 ①

而由f(0)=f(1)，從而

| f(x₂)－f(x₁)|=| f(x₂)－f(1)+f(0)－f(x₁)|

≤| f(x₂)－f(1)|+| f(0)－f(x₁)|＜|1－x₂|+|x₁|＜1－x₂+x₁.　　　 ②

①+②得2| f(x₂)－f(x₁)|＜1，

即| f(x₂)－f(x₁)|＜.

(4)|f(x₂)－f(x₁)|≤f_max－f_min=f(0)－f()=.

8.求證：(1)≤+.

(2) 如果設(shè)m等于，和1中最大的一個，時，則.

　證明(1)：令f(x)=(x≥0)，易證f(x)在［0，+∞)上單調(diào)遞增.

|a+b|≤|a|+|b|，

∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)，

即≤=≤.

法2:分析法

當(dāng)|a+b|=0時，不等式成立；

當(dāng)|a+b|≠0時，原不等式即為≤.

∵|a+b|≤|a|+|b|,

∴左邊

(2)(綜合法)由已知得，，，

從而知,