1.教學(xué)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

① 定義：一般地，當(dāng)a＞0且a≠1時，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)(logarithmic function).

自變量是x； 函數(shù)的定義域是(0，+∞)

② 辨析： 對數(shù)函數(shù)定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別，如：， 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)；對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制 ，且．

③ 探究：你能類比前面討論指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路，提出研究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容和方法嗎？

研究方法：畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì)．

研究內(nèi)容：定義域、值域、特殊點(diǎn)、單調(diào)性、最大(小)值、奇偶性．

④ 練習(xí)：同一坐標(biāo)系中畫出下列對數(shù)函數(shù)的圖象 ；

⑤ 討論：根據(jù)圖象，你能歸納出對數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)？

　 列表歸納：分類 → 圖象 → 由圖象觀察(定義域、值域、單調(diào)性、定點(diǎn))

引申：圖象的分布規(guī)律？

2. 根據(jù)教材P₇₃例，用計(jì)算器可以完成下表：

　 討論：t與P的關(guān)系？(對每一個碳14的含量P的取值，通過對應(yīng)關(guān)系，生物死亡年數(shù)t都有唯一的值與之對應(yīng)，從而t是P的函數(shù))

1. 畫出、的圖像，并以這兩個函數(shù)為例，說說指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

4．水平彈簧振子的彈簧應(yīng)為如圖6－3a或6－3b的樣子。當(dāng)振子的位置在平衡位置兩側(cè)時，彈簧長度是不同的。所以選項(xiàng)D不對。

另外，符合題意條件的不一定非選最大位移處的兩點(diǎn)，也可以選其他的點(diǎn)分析，如圖6-4P，Q兩點(diǎn)，同樣可以得出正確結(jié)論。

所以此題的正確答案為A，C。

例5　 一個做簡諧運(yùn)動的彈簧振子，周期為T，振幅為A，設(shè)振子

A．t₁＝t₂ B．t₁＜t₂

C．t₁＞t₂ D．無法判斷

度也大，因而時間短，所以t₁＞t₂，應(yīng)選C。

錯解三：因?yàn)檫@是一個變加速運(yùn)動問題，不能用勻速運(yùn)動或勻變速運(yùn)動規(guī)律求解，因而無法判斷t₁和t₂的大小關(guān)系，所以選D。

[錯解原因]　 主要是對簡諧運(yùn)動的特殊運(yùn)動規(guī)律不清楚，只記住了周期公式，沒注意分析簡諧運(yùn)動的全過程，沒能深入地理解和掌握這種運(yùn)動形式的特點(diǎn)。因而解題時錯誤地沿用了勻速或勻變速運(yùn)動的規(guī)律，選擇A的同學(xué)就是用勻速運(yùn)動規(guī)律去解，而選擇C的同學(xué)用了勻變速運(yùn)動規(guī)律去解，因而錯了。事實(shí)上，簡諧運(yùn)動的過程有其自身的許多規(guī)律，我們應(yīng)該用它的特殊規(guī)律去求解問題，而不能用勻速或勻變速運(yùn)動規(guī)律去求解。

[分析解答]　 方法一：用圖象法，畫出x-t圖象，從圖象上，我們可以很直觀地看出：t₁＜t₂，因而正確答案為：B。

方法二：從圖象為正弦曲線和數(shù)學(xué)知識可寫出位移隨時間的函數(shù)關(guān)系式，物理學(xué)上稱為振動方程，從平衡位置開始，振子的振動方程為：

[評析]　 以上兩種方法，第一種方法是定性分析，在選擇題練習(xí)時，是要重點(diǎn)掌握的。第二種方法可以進(jìn)行定量計(jì)算，但由于要涉及振動方程，所以不做統(tǒng)一要求。

t'=nT+t₂。此處，為了題目簡明起見，題文中用了“第一次”和“最短時間”等字樣。否則就無法比較兩個過程所用時間的長短。

例6　 圖6-6中實(shí)線是一列簡諧波在某一時刻的波形圖線，虛線是0.2s后它的波形圖線。這列波可能的傳播速度是_______。

[錯解]　 從圖上可以看出波長λ=4m，而從兩次的波形圖可知：

v=5m/s．

[錯解原因]

面的。實(shí)際上，只有當(dāng)波向右(沿x正方向)傳播時，上述關(guān)系才成立。

[分析解答]　 從圖上可以看出λ=4m。

當(dāng)波沿x正方向傳播時，兩次波形之間間隔的時間為：

此題的答案為：(20n+5)m/s和(20m+15)m/s，(n=0，1，2，…)

[評析]　 對于這種已知條件較為含糊的波的問題，要從波的傳播方向、時間和空間的周期性等方面進(jìn)行全面周到的分析，這也是解決機(jī)械波問題時，初學(xué)者經(jīng)常忽略的問題。

例7　 一簡諧波的波源在坐標(biāo)原點(diǎn)o處，經(jīng)過一段時間振動從o點(diǎn)向右傳播20cm到Q點(diǎn)，如圖6-7所示，P點(diǎn)離開o點(diǎn)的距離為30cm，試判斷P質(zhì)點(diǎn)開始振動的方向。

傳到P點(diǎn)，所以畫出如圖6-8所示的波形圖。因?yàn)椴ㄔ丛谠�點(diǎn)，波沿x軸正方向傳播，所以可判定，P點(diǎn)開始振動的方向是沿y軸正方向(即向上)。

[錯解原因]　 主要原因是把機(jī)械波的圖象當(dāng)成機(jī)械振動的圖象看

面的波形也變化了。

[分析解答]　 因?yàn)樵瓐D中的波形經(jīng)歷了半個周期的波形如圖6-9所示，在此波形基礎(chǔ)上，向前延長半個波形即為P點(diǎn)開始振動時的波形圖，因?yàn)椴ㄔ丛谠�點(diǎn)處，所以介質(zhì)中的每個質(zhì)點(diǎn)都被其左側(cè)質(zhì)點(diǎn)帶動，所以P點(diǎn)在剛開始時的振動方向沿y軸負(fù)方向(即向下)從另外一個角度來看，原圖中Q點(diǎn)開始振動時是向下的，因?yàn)樗�有質(zhì)點(diǎn)開始振動時的情況均相同，所以P點(diǎn)開始振動的方向應(yīng)是向下的。

[評析]　 本題中的錯解混淆了振動圖象與波的圖象，那么這兩個圖象有什么不同呢？(1)首先兩個圖象的坐標(biāo)軸所表示的物理意義不同：振動圖象的橫坐標(biāo)表示時間，而波動圖象的橫坐標(biāo)表示介質(zhì)中各振動質(zhì)點(diǎn)的平衡位置。(2)兩個圖象所描述的對象不同：振動圖象描述的是一個質(zhì)點(diǎn)的位移隨時間的變化情況，而波的圖象描述的是介質(zhì)中的一群質(zhì)點(diǎn)某一時刻各自振動所到達(dá)的位置情況。通俗地說：振動圖象相當(dāng)于是在一般時間內(nèi)一個質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的“錄像”，而波的圖象則是某一時刻一群質(zhì)點(diǎn)振動的“照片”。(3)隨著時間的推移，振動圖象原來的形狀(即過去質(zhì)點(diǎn)不同時刻所到達(dá)的位置不再發(fā)生變化，而波的圖象由于各質(zhì)點(diǎn)總在不斷地振動，因此隨著時間的推移，原有的圖象將發(fā)生周期性變化。

例8　 圖6-10是某時刻一列橫波在空間傳播的波形圖線。已知波是沿x軸正方向傳播，波速為4m/s，試計(jì)算并畫出經(jīng)過此時之后1.25s的空間波形圖。

=62.5個波長，其波形如圖6-13。

[錯解原因]　 錯解一、錯解二沒有重視單位的一致性，在此題中波長從圖中只能得出λ=8cm，而波速給出的卻是國際單位4m/s。因此，求周期時，應(yīng)先將波長的單位統(tǒng)一到國際單位制上來。

錯解三雖然計(jì)算對了，但是，在波向前(沿x軸正方向)傳播了62.5個波長時的波形，應(yīng)是在原來的波形基礎(chǔ)上向x正方擴(kuò)展62.5個波長。

播一個波長。經(jīng)過62.5個周期，波向前傳播了62.5個波長。據(jù)波的周期性，當(dāng)經(jīng)過振動周期的整數(shù)倍時，波只是向前傳播了整數(shù)倍個波長，而

形，如圖6-14。再將此圖向前擴(kuò)展62個波長即為題目要求，波形如圖6-15。

[評析]　 波形圖反映了波在傳播過程中某時刻在波的傳播方向上各質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移情況，由于波只能以有限的速度向前傳播，所以離振源遠(yuǎn)的質(zhì)點(diǎn)總要滯后一段時間，滯后的時間與傳播的距離成正比，即滯后一個周期。兩個質(zhì)點(diǎn)之間的平衡位置距離就是一個波長，經(jīng)過多少個周期，波就向前傳播了多少個波長，而振源就做了多少次全振動，這就是此類問題的關(guān)鍵所在。

例9　 如圖6-16所示，一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，從波傳到x=5m的M點(diǎn)時開始計(jì)時，已知P點(diǎn)相繼出現(xiàn)兩個波峰的時間間隔為0.4s，下面說法中正確的是　　　 [　　 ]

A．這列波的波長是4m

B．這列波的傳播速度是10m/s

C．質(zhì)點(diǎn)Q(x=9m)經(jīng)過0.5s才第一次到達(dá)波峰

D．M點(diǎn)以后各質(zhì)點(diǎn)開始振動時的方向都是向下

[錯解]　 錯解一：由題中說P點(diǎn)相繼出現(xiàn)兩個波峰的時間間隔為

錯解二：質(zhì)點(diǎn)Q(x=9m)，經(jīng)過0.4s(此處用了正確的周期結(jié)果

所以C對。

錯解三：M點(diǎn)以后各質(zhì)點(diǎn)的振動有的向上，有的向下，所以D不對。

[錯解原因]　 錯解一對“相繼出現(xiàn)兩個波峰”理解有誤。

錯解二對質(zhì)點(diǎn)Q(x=9m)處，當(dāng)波傳到它以后，該點(diǎn)應(yīng)如何振動不會分析，實(shí)際上也就是對波的傳播原理不明白。不知道波的傳播是機(jī)械振動在介質(zhì)中傳遞的過程，質(zhì)點(diǎn)要依次被帶動形成波。

同理，錯解三對M點(diǎn)以后各點(diǎn)運(yùn)動情況分析有誤，實(shí)際上M點(diǎn)以后各點(diǎn)運(yùn)動情況向上還是向下取決于波的傳播方向。

[分析解答]　 (1)從圖6-16上可以看出波長為4m，選A。

(2)實(shí)際上“相繼出現(xiàn)兩個波峰”應(yīng)理解為，出現(xiàn)第一波峰與出現(xiàn)第二個波峰之間的時間間隔。因?yàn)樵谝粋�周期內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)完成一次全振動，而一次全振動應(yīng)表現(xiàn)為“相繼出現(xiàn)兩個波峰”，即T=0.4s。則v=

(3)質(zhì)點(diǎn)Q(x=9m)經(jīng)過0.4s開始振動，而波是沿x軸正方向傳播，即介質(zhì)中的每一個質(zhì)點(diǎn)都被它左側(cè)的質(zhì)點(diǎn)所帶動，從波向前傳播的波形圖6-17可以看出，0.4s波傳到Q時，其左側(cè)質(zhì)點(diǎn)在它下方，所以Q點(diǎn)在0.5s時處于波谷。再經(jīng)過0.2ss即總共經(jīng)過0.7s才第一次到達(dá)波峰，所以選項(xiàng)C錯了。

(4)從波的向前傳播原理可以知道，M以后的每個質(zhì)點(diǎn)都是先向下振動的。所以選項(xiàng)D是對的。

此題正確答案為A，B，D。

[評析]

例10　 如圖6－18所示，一根張緊的水平彈性長繩上的a，b兩點(diǎn)，相距14.0m，b點(diǎn)在a點(diǎn)的右方，當(dāng)一列簡諧橫波沿此長繩向右傳播時，若a點(diǎn)的位移達(dá)到正最大時，b點(diǎn)的位移恰為零且向下運(yùn)動。經(jīng)過1.00s后a點(diǎn)的位移為零，且向下運(yùn)動，而b點(diǎn)的位移恰達(dá)到負(fù)最大，則這簡諧波的波速可能等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　 ]

A.4.67m/s　　　　　　　　　　　　　　 B.6m/s

C.10m/s　　　　　　　　　　　　　　　　 D.4m/s

v=4.67m/s選擇A。

但此題可能多選，考慮到a，b之間滿足條件的情況還可

解得：v=10m/s　 選擇C

解得：v=11.5m/s顯然不符合題目中的選項(xiàng)，且通過分析可知v=14m/s也是不對的，所以正確答案為A，C。

[錯解原因]以上答案并沒有錯，但分析問題的過程出現(xiàn)了明顯的

漏了不少結(jié)論。而此題做為選擇題，學(xué)生能用錯誤的思維方式得出符合答案的結(jié)果，純屬偶然。

波長λ有一系列數(shù)據(jù)，周期T也有一系列數(shù)據(jù)，從波的概念出發(fā)，兩者并無一一對應(yīng)，因而波速應(yīng)為

其解為當(dāng)n=0，N=0，1，2……

n=1，N=0，1，2……

n=2，N=0，1，2……

我們可以通過列表來看一看波速的各種可能值：

從表中可以看出，4.67m/s及10m/s即為正確答案。所以正確答案應(yīng)選A，C。

3．同錯解3。

4．對彈簧振子這樣一個物理模型認(rèn)識不全面，所謂水平彈簧振子的彈簧是哪段沒弄清楚。

[分析解答]　 1．由題意可知，t=nt，n可以是1，2，3…，

選項(xiàng)A是正確的。

相反，且對稱于平衡位置，所以加速度的方向是相反的。

在本章知識應(yīng)用的過程中，初學(xué)者常犯的錯誤主要表現(xiàn)在：對于諸如機(jī)械振動、簡諧運(yùn)動、受迫振動、共振、阻尼振動、等幅振動等眾多的有關(guān)振動的概念不能深刻的理解，從而造成混淆；不能從本質(zhì)上把握振動圖象和波的圖象的區(qū)別和聯(lián)系，這主要是由于振動的圖象與波的圖象形式上非常相似，一些學(xué)生只注意圖象的形狀，而忽略了圖象中坐標(biāo)軸所表示的物理意義，因此造成了將兩個圖象相混淆。另外，由于一些學(xué)生對波的形成過程理解不夠深刻，導(dǎo)致對于波在傳播過程中時間和空間的周期性不能真正的理解和把握；由于干涉和衍射的發(fā)生條件、產(chǎn)生的現(xiàn)象較為抽象，所以一些學(xué)生不能準(zhǔn)確地把握相關(guān)的知識內(nèi)容，表現(xiàn)為抓不住現(xiàn)象的主要特征、產(chǎn)生的條件混淆不清。

例1　 一個彈簧振子，第一次被壓縮x后釋放做自由振動，周期為T₁，第二次被壓縮2x后釋放做自由振動，周期為T₂，則兩次振動周期之比T₁∶T₂為　　　　　　 [　　 ]

A．1∶1　　　　　　　　　　　　　　　 B．1∶2

C．2∶1　　　　　　　　　　　　　　　 C．1∶4

[錯解]　 壓縮x時，振幅為x，完成一次全振動的路程為4x。壓縮2x時，振幅即為2x，完成一次全振動的路程為8x。由于兩種情況下全振動的路程的差異，第二次是第一次的2倍。所以，第二次振動的周期一定也是第一次的2倍，所以選B。

[錯解原因]　 上述解法之所以錯誤是因?yàn)榘颜褡拥倪\(yùn)動看成是勻速運(yùn)動或加速度恒定的勻加速直線運(yùn)動了。用了勻速或勻加速運(yùn)動的規(guī)律。說明這些同學(xué)還是沒有掌握振動的特殊規(guī)律。

[分析解答]　 事實(shí)上，只要是自由振動，其振動的周期只由自身因素決定，對于彈簧振子而言，就是只由彈簧振子的質(zhì)量m和彈簧的勁度系數(shù)k決定的，而與形變大小、也就是振幅無關(guān)。所以只要彈簧振子這個系統(tǒng)不變(m，k不變)，周期就不會改變，所以正確答案為A。

[評析]　 本題給出的錯解是初學(xué)者中最常見的錯誤。產(chǎn)生這一錯誤的原因是習(xí)慣于用舊的思維模式分析新問題，而不善于抓住新問題的具體特點(diǎn)，這反映了學(xué)習(xí)的一種思維定勢。只有善于接受新知識、新方法，并將其運(yùn)用到實(shí)際問題中去，才能開闊我們分析、解決問題的思路，防止思維定勢。

例2　 一個單擺，如果擺球的質(zhì)量增加為原來的4倍，擺球經(jīng)過平

A．頻率不變，振幅不變　　　　　　　　 B．頻率不變，振幅改變

C．頻率改變，振幅不變　　　　　　　　 D．頻率改變，振幅改變

[錯解]　 錯解一：因?yàn)閱螖[的周期(頻率)是由擺長l和當(dāng)?shù)刂?/p>

變(指平衡位置動能也就是最大動能)，由機(jī)械能守恒可知，勢能也不變。所以振幅也不變，應(yīng)選A。

而振幅與質(zhì)量、速度無關(guān)(由上述理由可知)所以振幅不變，應(yīng)選C。

錯解三：認(rèn)為頻率要改變，理由同錯解二。而關(guān)于振幅的改變與否，除了錯解一中所示理由外，即總能量不變，而因?yàn)橹亓�勢能E_P=mgh，E_P不變，m變?yōu)樵瓉淼?倍，h一定變小了，即上擺到最高點(diǎn)的高度下降了，所以振幅要改變，應(yīng)選D。

[錯解原因]　 此題主要考查決定單擺頻率(周期)和振幅的是什么因素，而題中提供了兩個變化因素，即質(zhì)量和最大速度，到底頻率和振幅與這兩個因素有沒有關(guān)系。若有關(guān)系，有什么關(guān)系，是應(yīng)該弄清楚的。

而錯解二和錯解三中都認(rèn)為頻率不變，這是因?yàn)闉椴磺宄�決定單擺的因素是擺長l和當(dāng)?shù)刂亓�加速度g，而與擺球質(zhì)量及運(yùn)動到最低點(diǎn)的速度無關(guān)。

錯解二中關(guān)于頻率不變的判斷是正確的，錯誤出現(xiàn)在后半句的結(jié)論上。判斷只從能量不變?nèi)タ矗��?dāng)E_總不變時，E_P=mgh，m變大了，h一定變小。說明有些同學(xué)考慮問題還是不夠全面。

[分析解答]　 (1)實(shí)際上，通過實(shí)驗(yàn)我們已經(jīng)了解到，決定單

單擺的周期與質(zhì)量無關(guān)，與單擺的運(yùn)動速度也無關(guān)。當(dāng)然，頻率也與質(zhì)量和速度無關(guān)，所以不能選C，D。

(2)決定振幅的是外來因素。反映在單擺的運(yùn)動中，可以從能量去觀察，從上面分析我們知道，在平衡位置(即最低點(diǎn))時的動能E_K

的重力勢能也不變。但是由于第二次擺的質(zhì)量增大了(實(shí)際上單擺已經(jīng)變成另一個擺動過程了)，勢能E_P=mgh不變，m大了，h就一定變小了，也就是說，振幅減小了。因此正確答案應(yīng)選B。

[評析]　 本題的分析解答提醒我們，一是考慮要全面，本題中m，v兩因素的變化對確定的單擺振動究竟會產(chǎn)生怎樣的影響，要進(jìn)行全面分析；二是分析問題要有充分的理論依據(jù)，如本題中決定單擺振動的頻率

例3　 如圖6-1所示，光滑圓弧軌道的半徑為R，圓弧底部中點(diǎn)為O，兩個相同的小球分別在O正上方h處的A點(diǎn)和離O很近的軌道B點(diǎn)，現(xiàn)同時釋放兩球，使兩球正好在O點(diǎn)相碰。問h應(yīng)為多高？

[錯解]　 對B球，可視為單擺，延用單擺周期公式可求B球到達(dá)O點(diǎn)的時間：

對A球，它做自由落體運(yùn)動，自h高度下落至O點(diǎn)

[錯解原因]　 上述答案并沒有完全錯，分析過程中有一點(diǎn)沒有考慮，即是振動的周期性，因?yàn)锽球在圓形軌道上自B點(diǎn)釋放后可以做往

上述解答漏掉一些解，即上述解答只是多個解答中的一個。

對B球振動周期

到達(dá)O點(diǎn)的時間為

顯然，前面的解僅僅是當(dāng)n=0時的其中一解而已。

[評析]　 在解決與振動有關(guān)的問題時，要充分考慮到振動的周期性，由于振動具有周期性，所以此類問題往往答案不是一個而是多個。

例4　 水平彈簧振子，每隔時間t，振子的位移總是大小和方向都相

[錯解]　 1．首先排除A，認(rèn)為A是不可能的。理由是：水平彈簧振子的運(yùn)動軌跡可簡化為如圖6-2，O為平衡位置，假設(shè)計(jì)時開始時，振子位于A點(diǎn)，每隔時間t，振子的位移總是大小和方向都相同，所以t

B之間非A即B點(diǎn)，而這兩點(diǎn)距平衡位置都等于振幅，所以加速度都等

所以振子的動能總是相同的，所以選C是對的。

同的，都等于振幅，所以D是對的。

綜上所述，應(yīng)選B，C，D。

[錯解原因]　 錯解1是排除A，之所以產(chǎn)生錯誤，是因?yàn)樵陬^腦中形成思維定勢，認(rèn)為在時間t內(nèi)，振子只能在一個周期內(nèi)振動。很多學(xué)生在解決振動和波的問題時，習(xí)慣上把所有問題都限定在一個周期內(nèi)，而沒有考慮到在時間t內(nèi)，振子可能已經(jīng)完成多個全振動了。

錯解2的產(chǎn)生主要是對加速度的矢量性認(rèn)識不夠或頭腦中根本就沒有這個概念，認(rèn)為位置對稱，加速度大小一樣就是加速度相同。

3．選擇C是對的。

本章中所涉及到的基本方法有：由于振動和波動的運(yùn)動規(guī)律較為復(fù)雜，且限于中學(xué)數(shù)學(xué)知識的水平，因此對于這部分內(nèi)容不可能像研究直線運(yùn)動、平拋、圓周運(yùn)動那樣從運(yùn)動方向出發(fā)描述和研究物體的運(yùn)動，而是利用圖象法對物體做簡諧運(yùn)動的運(yùn)動規(guī)律及振動在介媒中的傳播過程進(jìn)行描述與研究。圖像法具有形象、直觀等優(yōu)點(diǎn)，其中包含有豐富的物理信息，在學(xué)習(xí)時同學(xué)們要注意加以體會；另外，在研究單擺振動的過程中，對于單擺所受的回復(fù)力特點(diǎn)的分析，采取了小擺角的近似的處理，這是一種理想化物理過程的方法。

本章內(nèi)容包括機(jī)械振動、回復(fù)力、振幅、周期、頻率、簡諧振動、受迫振動、共振、機(jī)械波、波長、波速、橫波、縱波、波的干涉和衍射等基本概念，以及單擺振動的周期規(guī)律、簡諧運(yùn)動的圖像、簡諧運(yùn)動中的能量轉(zhuǎn)化規(guī)律、波的圖像、波長和頻率與波速之間的關(guān)系等規(guī)律。

在本章知識應(yīng)用的過程中，初學(xué)者常犯的錯誤主要表現(xiàn)在：對物體做圓周運(yùn)動時的受力情況不能做出正確的分析，特別是物體在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，靜摩擦力參與提供向心力的情況；對牛頓運(yùn)動定律、圓周運(yùn)動的規(guī)律及機(jī)械能守恒定律等知識內(nèi)容不能綜合地靈活應(yīng)用，如對于被繩(或桿、軌道)束縛的物體在豎直面的圓周運(yùn)動問題，由于涉及到多方面知識的綜合，表現(xiàn)出解答問題時顧此失彼。

例1　 假如一做圓周運(yùn)動的人造地球衛(wèi)星的軌道半徑增大到原來的2倍，仍做圓周運(yùn)動，則(　　 )

A．根據(jù)公式v=ωr，可知衛(wèi)星運(yùn)動的線速度增大到原來的2倍。

D．根據(jù)上述選項(xiàng)B和C給出的公式，可知衛(wèi)星運(yùn)動的線速度將減

[錯解]選擇A，B，C

所以選擇A，B，C正確。

[錯解分析]A，B，C中的三個公式確實(shí)是正確的，但使用過程中A，

[分析解答]正確選項(xiàng)為C，D。

A選項(xiàng)中線速度與半徑成正比是在角速度一定的情況下。而r變化時，角速度也變。所以此選項(xiàng)不正確。同理B選項(xiàng)也是如此，F(xiàn)∝是在v一定時，但此時v變化，故B選項(xiàng)錯。而C選項(xiàng)中G，M，m都是恒量，所以F∝

[評析]物理公式反映物理規(guī)律，不理解死記硬背經(jīng)常會出錯。使用中應(yīng)理解記憶。知道使用條件，且知道來攏去脈。

衛(wèi)星繞地球運(yùn)動近似看成圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，由此將

根據(jù)以上式子得出

例2　 一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R(比細(xì)管的半徑大得多)，圓管中有兩個直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))。A球的質(zhì)量為m₁， B球的質(zhì)量為m₂。它們沿環(huán)形圓管順時針運(yùn)動，經(jīng)過最低點(diǎn)時的速度都為v₀。設(shè)A球運(yùn)動到最低點(diǎn)時，球恰好運(yùn)動到最高點(diǎn)，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m₁，m₂，R與v₀應(yīng)滿足關(guān)系式是。

[錯解]依題意可知在A球通過最低點(diǎn)時，圓管給A球向上的彈力N1為向心力，則有

B球在最高點(diǎn)時，圓管對它的作用力N₂為m₂的向心力，方向向下，則有

因?yàn)閙₂由最高點(diǎn)到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒，則有

[錯解原因]錯解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏規(guī)范的解題過程。沒有做受力分析，導(dǎo)致漏掉重力，表面上看分析出了N₁=N₂，但實(shí)際并沒有真正明白為什么圓管給m₂向下的力�？傊畯母�本上看還是解決力學(xué)問題的基本功受力分析不過關(guān)。

[分析解答]首先畫出小球運(yùn)動達(dá)到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力圖，如圖4-1所示。A球在圓管最低點(diǎn)必受向上彈力N₁，此時兩球?qū)�圓管的合力為零，m₂必受圓管向下的彈力N₂，且N₁=N₂。

據(jù)牛頓第二定律A球在圓管的最低點(diǎn)有

同理m₂在最高點(diǎn)有

m₂球由最高點(diǎn)到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒

[評析]比較復(fù)雜的物理過程，如能依照題意畫出草圖，確定好研究對象，逐一分析就會變?yōu)楹唵螁栴}。找出其中的聯(lián)系就能很好地解決問題。

例3　 從地球上發(fā)射的兩顆人造地球衛(wèi)星A和B，繞地球做勻速圓周運(yùn)動的半徑之比為R_A∶R_B=4∶1，求它們的線速度之比和運(yùn)動周期之比。

設(shè)A，B兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量分別為m_A，m_B。

[錯解原因]這里錯在沒有考慮重力加速度與高度有關(guān)。根據(jù)萬有引力定律知道：

可見，在“錯解”中把A，B兩衛(wèi)星的重力加速度g_A，g_B當(dāng)作相同的g來處理是不對的。

[分析解答]衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有

[評析]我們在研究地球上的物體的運(yùn)動時，地面附近物體的重力加速度近似看做是恒量。但研究天體運(yùn)動時，應(yīng)注意不能將其認(rèn)為是常量，隨高度變化，g值是改變的。

例4　 使一小球沿半徑為R的圓形軌道從最低點(diǎn)上升，那么需給它最小速度為多大時，才能使它達(dá)到軌道的最高點(diǎn)？

[錯解]如圖4-2所示，根據(jù)機(jī)械能守恒，小球在圓形軌道最高點(diǎn)A時的勢能等于它在圓形軌道最低點(diǎn)B時的動能(以B點(diǎn)作為零勢能位置)，所以為

從而得

[錯解原因]小球到達(dá)最高點(diǎn)A時的速度v_A不能為零，否則小球早在到達(dá)A點(diǎn)之前就離開了圓形軌道。要使小球到達(dá)A點(diǎn)(自然不脫離圓形軌道)，則小球在A點(diǎn)的速度必須滿足

式中，N_A為圓形軌道對小球的彈力。上式表示小球在A點(diǎn)作圓周運(yùn)動所需要的向心力由軌道對它的彈力和它本身的重力共同提供。當(dāng)NA=0時，

[分析解答]以小球?yàn)檠芯繉ο�。小球在軌道最高點(diǎn)時，受重力和軌道給的彈力。

小球在圓形軌道最高點(diǎn)A時滿足方程

根據(jù)機(jī)械能守恒，小球在圓形軌道最低點(diǎn)B時的速度滿足方程

解(1)，(2)方程組得

軌道的最高點(diǎn)A。

例5　 用長L=1.6m的細(xì)繩，一端系著質(zhì)量M=1kg的木塊，另一端掛在固定點(diǎn)上�，F(xiàn)有一顆質(zhì)量m=20g的子彈以v₁=500m／s的水平速度向木塊中心射擊，結(jié)果子彈穿出木塊后以v₂=100m／s的速度前進(jìn)。問木塊能運(yùn)動到多高？(取g=10m／s²，空氣阻力不計(jì))

[錯解]在水平方向動量守恒，有

mv₁=Mv+mv₂　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)

式①中v為木塊被子彈擊中后的速度。木塊被子彈擊中后便以速度v開始擺動。由于繩子對木塊的拉力跟木塊的位移垂直，對木塊不做功，所以木塊的機(jī)械能守恒，即

h為木塊所擺動的高度。解①，②聯(lián)立方程組得到

v=8(v/s)

h=3.2(m)

[錯解原因]這個解法是錯誤的。h=3.2m，就是木塊擺動到了B點(diǎn)。如圖4-3所示。則它在B點(diǎn)時的速度v_B。應(yīng)滿足方程

這時木塊的重力提供了木塊在B點(diǎn)做圓周運(yùn)動所需要的向心力。解

如果v_B＜4 m/s，則木塊不能升到B點(diǎn)，在到達(dá)B點(diǎn)之前的某一位置以某一速度開始做斜向上拋運(yùn)動。而木塊在B點(diǎn)時的速度v_B=4m/s，是不符合機(jī)械能守恒定律的，木塊在 B點(diǎn)時的能量為(選A點(diǎn)為零勢能點(diǎn))

兩者不相等�？梢娔緣K升不到B點(diǎn)，一定是h＜3.2 m。

實(shí)際上，在木塊向上運(yùn)動的過程中，速度逐漸減小。當(dāng)木塊運(yùn)動到某一臨界位置C時，如圖4－4所示，木塊所受的重力在繩子方向的分力恰好等于木塊做圓周運(yùn)動所需要的向心力。此時繩子的拉力為零，繩子便開始松弛了。木塊就從這個位置開始，以此刻所具有的速度v_c作斜上拋運(yùn)動。木塊所能到達(dá)的高度就是C點(diǎn)的高度和從C點(diǎn)開始的斜上拋運(yùn)動的最大高度之和。

[分析解答]　 如上分析，從式①求得v_A=v=8m/s。木塊在臨界位置C時的速度為v_c，高度為

h′=l(1+cosθ)

如圖所示，根據(jù)機(jī)船能守恒定律有

木塊從C點(diǎn)開始以速度v_c做斜上拋運(yùn)動所能達(dá)到的最大高度h″為

[評析]　 物體能否做圓運(yùn)動，不是我們想象它怎樣就怎樣這里有一個需要的向心力和提供向心力能否吻合的問題，當(dāng)需要能從實(shí)際提供中找到時，就可以做圓運(yùn)動。所謂需要就是符合牛頓第二定律F_向=ma_向的力，而提供則是實(shí)際中的力若兩者不相等，則物體將做向心運(yùn)動或者離心運(yùn)動。

第六章　 機(jī)械運(yùn)動、機(jī)械波錯題集