2．探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離；

1．能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；

抓好“三基”，把握重點(diǎn)，重視低、中檔題的復(fù)習(xí)，確保選擇題的成功率。

本講所涉及到的知識(shí)都是平面解析幾何中最基礎(chǔ)的內(nèi)容.它們滲透到平面解析幾何的各個(gè)部分，正是它們構(gòu)成了解析幾何問題的基礎(chǔ)，又是解決這些問題的重要工具之一.這就要求我們必須重視對(duì)“三基”的學(xué)習(xí)和掌握，重視基礎(chǔ)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，注意基本方法的相互配合，注意平面幾何知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用，注重挖掘基礎(chǔ)知識(shí)的能力因素，提高通性通法的熟練程度，著眼于低、中檔題的順利解決。

在解答有關(guān)直線的問題時(shí)，應(yīng)特別注意的幾個(gè)方面：

(1)在確定直線的斜率、傾斜角時(shí)，首先要注意斜率存在的條件，其次要注意傾角的范圍；

(2)在利用直線的截距式解題時(shí)，要注意防止由于“零截距”造成丟解的情況.如題目條件中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的m倍(m＞0)”等時(shí)，采用截距式就會(huì)出現(xiàn)“零截距”，從而丟解.此時(shí)最好采用點(diǎn)斜式或斜截式求解；

(3)在利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式解題時(shí)，要注意防止由于“無(wú)斜率”，從而造成丟解.如在求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)或討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，或討論兩直線的平行、垂直的位置關(guān)系時(shí)，一般要分直線有無(wú)斜率兩種情況進(jìn)行討論；

(4)首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終。

題型1：直線的傾斜角

例1．(1995全國(guó)，5)圖中的直線l₁、l₂、l₃的斜率分別為k₁、k₂、k₃，則(　　 )

A．k₁＜k₂＜k₃ B．k₃＜k₁＜k₂

C．k₃＜k₂＜k₁ D．k₁＜k₃＜k₂

答案：D

解析：直線l₁的傾斜角α₁是鈍角，故k₁＜0，直線l₂與l₃的傾斜角α₂、α₃均為銳角，且α₂＞α₃，所以k₂＞k₃＞0，因此k₂＞k₃＞k₁，故應(yīng)選D。

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查直線的傾斜角、斜率的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的能力。

例2．過點(diǎn)P(2，1)作直線分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，求的值最小時(shí)直線的方程。

　　 解析：依題意作圖，設(shè)∠BAO＝，

　　 則，

　　 ，

　　 當(dāng)，即時(shí)的值最小，此時(shí)直線的傾斜角為135°，

　　 ∴斜率。

故直線的方程為，即。

點(diǎn)評(píng)：求直線方程是解析幾何的基礎(chǔ)，也是重要的題型。解這類題除用到有關(guān)概念和直線方程的五種形式外，還要用到一些技巧。

題型2：斜率公式及應(yīng)用

例3．(1)(05年江西高考)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值是___________。

(2)(1997全國(guó)文，24)已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log₈x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)y＝log₂x的圖象交于C、D兩點(diǎn)。

(1)證明點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上。

(2)當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。

　　　 解析：(1)如圖，實(shí)數(shù)x，y滿足的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分(包括邊界)，而表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，則直線AO的斜率最大，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，所以的最大值是。

　 點(diǎn)評(píng)：本題還可以設(shè)，則，斜率k的最大值即為的最大值，但求解頗費(fèi)周折。

(2)證明：設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，由題設(shè)知x₁＞1，x₂＞1，點(diǎn)A(x₁，log₈x₁)，B(x₂，log₈x₂).

因?yàn)?i>A、B在過點(diǎn)O的直線上，所以，

又點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(x₁，log₂x₁)，(x₂，log₂x₂)

由于log₂x₁＝＝3log₈x₁，log₂x₂＝＝3log₈x₂，

所以OC的斜率和OD的斜率分別為

。

由此得k_OC＝k_OD，即O、C、D在同一條直線上。

由BC平行于x軸，有l(wèi)og₂x₁＝log₈x₂，解得　 x₂＝x₁³

將其代入，得x₁³log₈x₁＝3x₁log₈x₁.

由于x₁＞1，知log₈x₁≠0，故x₁³＝3x₁，x₁＝，于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，log₈).

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和分析問題的能力。

例4．(05年全國(guó)高考)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是(　 )

A．2　　　　　　 B．　　　　　　　 C．4　　 　　　　　 D．

　　　 解析：原式化簡(jiǎn)為，則y看作點(diǎn)A(0，5)與點(diǎn)的連線的斜率。

　　　 因?yàn)辄c(diǎn)B的軌跡是

　　　 即

　　　 過A作直線，代入上式，由相切(△＝0)可求出，由圖象知k的最小值是4，故選C。

　　　 點(diǎn)評(píng)：也可用三角函數(shù)公式變換求最值或用求導(dǎo)的方法求最值等。但將問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系使問題解決的十分準(zhǔn)確與清晰。

題型3：直線方程

例5．已知直線的點(diǎn)斜式方程為，求該直線另外三種特殊形式的方程。

　　 解析：(1)將移項(xiàng)、展開括號(hào)后合并，即得斜截式方程。

　　 (2)因?yàn)辄c(diǎn)(2，1)、(0，)均滿足方程，故它們?yōu)橹本�上的兩點(diǎn)。

　　 由兩點(diǎn)式方程得：

　　 即

　　 (3)由知：直線在y軸上的截距

　　 又令，得

　　 故直線的截距式方程

點(diǎn)評(píng)：直線方程的四種特殊形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，它是直線在不同條件下的不同表現(xiàn)形式，要掌握好它們之間的互化。在解具體問題時(shí)，要根據(jù)問題的條件、結(jié)論，靈活恰當(dāng)?shù)剡x用公式，使問題解得簡(jiǎn)捷、明了。

例6．直線經(jīng)過點(diǎn)P(-5，-4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程。

　　 解析：設(shè)所求直線的方程為，

　　 ∵直線過點(diǎn)P(-5，-4)，，即。

　　 又由已知有，即，

　　 解方程組，得：或

　　 故所求直線的方程為：，或。

　　 即，或

　　 點(diǎn)評(píng)：要求的方程，須先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三種：

　　 (1)從點(diǎn)的坐標(biāo)或中直接觀察出來；

　　 (2)由斜截式或截距式方程確定截距；

(3)在其他形式的直線方程中，令得軸上的截距b；令得出x軸上的截距a。

總之，在求直線方程時(shí)，設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算途徑比訓(xùn)練提高運(yùn)算能力更為重要。解題時(shí)善于觀察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。

題型3：直線方程綜合問題

例5．(2003北京春理，12)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△AOB三邊所在直線的方程分別為x=0，y=0，2x+3y=30，則△AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的總數(shù)是(　　 )

A．95　 　　　　　 　　B．91　 　　　　 　　C．88　 　　　　　　　　　　 　D．75

答案：B

解析一：由y=10－x(0≤x≤15，x∈N)轉(zhuǎn)化為求滿足不等式y≤10－x(0≤x≤15，x∈N)所有整數(shù)y的值.然后再求其總數(shù).令x=0，y有11個(gè)整數(shù)，x=1，y有10個(gè)，x=2或x=3時(shí)，y分別有9個(gè)，x=4時(shí)，y有8個(gè)，x=5或6時(shí)，y分別有7個(gè)，類推：x=13時(shí)y有2個(gè)，x=14或15時(shí)，y分別有1個(gè)，共91個(gè)整點(diǎn).故選B。

解析二：將x=0，y=0和2x+3y=30所圍成的三角形補(bǔ)成一個(gè)矩形.如圖所示。

對(duì)角線上共有6個(gè)整點(diǎn)，矩形中(包括邊界)共有16×11=176.因此所求△AOB內(nèi)部和邊上的整點(diǎn)共有=91(個(gè))

點(diǎn)評(píng)：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識(shí)探索解題途徑。

例6．(2003京春理，22)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P(1，0)，且與定直線l：x=－1相切，點(diǎn)C在l上。

(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；

(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)。

(i)問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；

(ii)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。

(Ⅰ)解法一，依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y²=4x.

解法二：設(shè)M(x，y)，依題意有|MP|=|MN|，

所以|x+1|=�；�簡(jiǎn)得：y²=4x。

(Ⅱ)(i)由題意得，直線AB的方程為y=－(x－1).

由消y得3x²－10x+3=0，

解得x₁=，x₂=3。

所以A點(diǎn)坐標(biāo)為()，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－2)，

|AB|=x₁+x₂+2=。

假設(shè)存在點(diǎn)C(－1，y)，使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

由①－②得4²+(y+2)²=()²+(y－)²，

解得y=－。

但y=－不符合①，

所以由①，②組成的方程組無(wú)解。

因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形。

(ii)解法一：設(shè)C(－1，y)使△ABC成鈍角三角形，由得y=2，

即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－1，2)時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，故y≠2。

又|AC|²=(－1－)²+(y－)²=+y²，

|BC|²=(3+1)²+(y+2)²=28+4y+y²，

|AB|²=()²=。

當(dāng)∠CAB為鈍角時(shí)，cosA=<0。

即|BC|² >|AC|²+|AB|²，即，

即y>時(shí)，∠CAB為鈍角。

當(dāng)|AC|²>|BC|²+|AB|²，即，

即y<－時(shí)，∠CBA為鈍角。

又|AB|²>|AC|²+|BC|²，即，

即。

該不等式無(wú)解，所以∠ACB不可能為鈍角。

因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是。

解法二：以AB為直徑的圓的方程為(x－)²+(y+)²=()²。

圓心()到直線l：x=－1的距離為，

所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn)G(－1，－)。

當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時(shí)，∠ACB為直角，當(dāng)C與G點(diǎn)不重合，且A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，∠ACB為銳角，即△ABC中，∠ACB不可能是鈍角。

因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角。

過點(diǎn)A且與AB垂直的直線方程為。

令x=－1得y=。

過點(diǎn)B且與AB垂直的直線方程為y+2(x－3)。

令x=－1得y=－。

又由解得y=2，

所以，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－1，2)時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，不構(gòu)成三角形。

因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y<－或y>(y≠2)。

點(diǎn)評(píng)：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想.該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。

題型4：圓的方程

例7．(1)已知△ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(4，1)，B(6，－3)，C(－3，0)，求△ABC外接圓的方程。

　　 分析：如果設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，即可確定出三個(gè)獨(dú)立參數(shù)a，b，r，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果注意到△ABC外接圓的圓心是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，由此可求圓心坐標(biāo)和半徑，也可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解法一：設(shè)所求圓的方程是　　　　　　 ①

因?yàn)?i>A(4，1)，B(6，－3)，C(－3，0)都在圓上，

所以它們的坐標(biāo)都滿足方程①，于是

　 可解得

所以△ABC的外接圓的方程是。

解法二：因?yàn)椤?i>ABC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，所以先求AB、BC的垂直平分線方程，求得的交點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo)。

∵，，線段AB的中點(diǎn)為(5，－1)，線段BC的中點(diǎn)為，

圖4－1

∴AB的垂直平分線方程為，　 ①

BC的垂直平分線方程　　　　　 ②

解由①②聯(lián)立的方程組可得

∴△ABC外接圓的圓心為E(1，－3)，

半徑。

故△ABC外接圓的方程是．

點(diǎn)評(píng)：解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質(zhì)。

(2)求過A(4，1)，B(6，－3)，C(－3，0)三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。

分析：細(xì)心的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，本題與上節(jié)例1是相同的，在那里我們用了兩種方法求圓的方程．現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解(解法三)，可以比較一下哪種方法簡(jiǎn)捷。

解析：設(shè)圓的方程為　　　　　　　　　　　 ①

因?yàn)槿�點(diǎn)A(4，1)，B(6，－3)，C(－3，0)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程①的解，將它們的坐標(biāo)分別代入方程①，得到關(guān)于D，E，F的一個(gè)三元一次方程組：

　　 ，解得。

所以，圓的方程是。

圓心是坐標(biāo)(1，－3)，半徑為。

點(diǎn)評(píng)：“待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法．一般地，在選用圓的方程形式時(shí)，若問題涉及圓心和半徑，則選用標(biāo)準(zhǔn)方程比較方便，否則選用一般方程方便些。

例8．若方程。

　　 (1)當(dāng)且僅當(dāng)在什么范圍內(nèi)，該方程表示一個(gè)圓。

　　 (2)當(dāng)在以上范圍內(nèi)變化時(shí)，求圓心的軌跡方程。

　 解析：(1)由，

　　 ，

　　 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

　　 即時(shí)，給定的方程表示一個(gè)圓。

　　 (2)設(shè)圓心坐標(biāo)為，則(為參數(shù))。

消去參數(shù)，為所求圓心軌跡方程。

點(diǎn)評(píng)：圓的一般方程，圓心為點(diǎn)，半徑，其中。

題型5：圓的綜合問題

例9．如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，給定y軸正半軸上兩點(diǎn)A(0，a)，B(0，b)()，試在x軸正半軸上求一點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值。

　　　 解析：設(shè)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，在△ABC中由正弦定理，有　 。

　　　 其中R是△ABC的外接圓的半徑。

　　　 可見，當(dāng)R取得最小值時(shí)，∠ACB取得最大值。

　　　 在過A、B兩定點(diǎn)且與x軸正向有交點(diǎn)C的諸圓中，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C是圓與x軸的切點(diǎn)時(shí)，半徑最小。故切點(diǎn)C即為所求。

　　　 由切割線定理，得：

　　　 所以 ，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，∠ACB取得最大值。

點(diǎn)評(píng)：圓是最簡(jiǎn)單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對(duì)一些數(shù)學(xué)問題，若能作一個(gè)輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。

例10．已知⊙O′過定點(diǎn)A(0，p)(p>0)，圓心O′在拋物線x²=2py上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O′截x軸所得的弦，令|AM|=d₁，|AN|=d₂，∠MAN=θ。

(1)當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論；

(2)求+的最大值，并求取得最大值的θ值。

解析：設(shè)O′(x₀，y₀)，則x₀²=2py₀ (y₀≥0)，⊙O′的半徑|O′A|=，⊙O′的方程為(x-x₀)²+(y-y₀)²=x₀²+(y₀-p)²。令y=0，并把x₀²=2py₀代入得x²－2x₀x+x₀²－p²=0，解得x_M=x₀ – p，x_N=x₀+p，∴|MN|=| x_N – x_M|=2p為定值。

(2)∵M(jìn)(x₀-p，0) ，N(x₀+p，0)　

　∴d₁=，d₂=，則d₁²+d₂²=4p²+2x₀²，d₁d₂=，

∴+===2=2≤2=2。

當(dāng)且僅當(dāng)x₀²=2p²，即x=±p，y₀=p時(shí)等號(hào)成立，∴+的最大值為2。

此時(shí)|O′B|=|MB|=|NB|(B為MN中點(diǎn))，又O′M=O′N，

∴△O′MN為等腰直角三角形，∠MO′N=90°，則θ=∠MO′N=45°。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。

5．圓的方程

圓心為，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。特殊地，當(dāng)時(shí)，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：。

圓的一般方程，圓心為點(diǎn)，半徑，其中。

二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：①、項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)相同且不為0，即；②、沒有xy項(xiàng)，即B=0；③、。

4．直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。

名稱	方程	說明	適用條件
斜截式	y=kx+b	k--斜率 b--縱截距	傾斜角為90°的直線不能用此式
點(diǎn)斜式	y-y0=k(x-x0)	(x0，y0)--直線上 已知點(diǎn)，k--斜率	傾斜角為90°的直線不能用此式
兩點(diǎn)式	=	(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個(gè)已知點(diǎn)	與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式
截距式	+=1	a--直線的橫截距 b--直線的縱截距	過(0，0)及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式
一般式	Ax+By+C=0	，，分別為斜率、橫截距和縱截距	A、B不能同時(shí)為零

直線的點(diǎn)斜式與斜截式不能表示斜率不存在(垂直于x 軸)的直線；兩點(diǎn)式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線及過原點(diǎn)的直線。

2．斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是90⁰時(shí)，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tan;當(dāng)直線的傾斜角等于90⁰時(shí)，直線的斜率不存在。

過兩點(diǎn)p₁(x₁,y₁),p₂(x₂,y₂)(x₁≠x₂)的直線的斜率公式:k=tan(若x₁＝x₂，則直線p₁p₂的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90⁰)。

1．傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為。

直線方程考察的重點(diǎn)是直線方程的特征值(主要是直線的斜率、截距)有關(guān)問題，可與三角知識(shí)聯(lián)系；圓的方程，從軌跡角度講，可以成為解答題，尤其是參數(shù)問題，在對(duì)參數(shù)的討論中確定圓的方程。

預(yù)測(cè)2007年對(duì)本講的考察是：

(1)2道選擇或填空，解答題多與其他知識(shí)聯(lián)合考察，本講對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的考察也會(huì)是一個(gè)出題方向；

(2)熱點(diǎn)問題是直線的傾斜角和斜率、直線的幾種方程形式和求圓的方程。

2．圓與方程

回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。