2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：

如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。

(1)三角形內(nèi)角和：A+B+C＝π。

(2)正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。

。

(R為外接圓半徑)

(3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

a²＝b²+c²－2bccosA；b²＝c²+a²－2cacosB；c²＝a²+b²－2abcosC。

1．直角三角形中各元素間的關(guān)系：

如圖，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

(1)三邊之間的關(guān)系：a²+b²＝c²。(勾股定理)

(2)銳角之間的關(guān)系：A+B＝90°；

(3)邊角之間的關(guān)系：(銳角三角函數(shù)定義)

sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。

對(duì)本講內(nèi)容的考察主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問(wèn)題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關(guān)角等問(wèn)題。今后高考的命題會(huì)以正弦定理、余弦定理為知識(shí)框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、難度的解答題。

(1)通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；

(2)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

5．突出向量與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯

“新課程增加了新的現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，其意義不僅在于數(shù)學(xué)內(nèi)容的更新，更重要的是引入新的思維方法，可以更有效地處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題”。因此，新課程卷中有些問(wèn)題屬于新教材與舊教材的結(jié)合部，凡涉及此類問(wèn)題，高考命題都采用了新舊結(jié)合，以新帶舊或以新方法解決的方法進(jìn)行處理，從中啟示我們?cè)诟呖紝W(xué)習(xí)中，應(yīng)突出向量的工具性，注重向量與其它知識(shí)的交匯與融合，但不宜“深挖洞”。我們可以預(yù)測(cè)近兩年向量高考題的難度不會(huì)也不應(yīng)該上升到壓軸題的水平。

4．注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

①．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法。

由于向量本身具有代數(shù)形式和幾何形式雙重身份，所以在向量知識(shí)的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，在解決問(wèn)題過(guò)程中要形成見(jiàn)數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣，以加深理解知識(shí)要點(diǎn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。

②．化歸轉(zhuǎn)化的思想方法。

向量的夾角、平行、垂直等關(guān)系的研究均可化歸為對(duì)應(yīng)向量或向量坐標(biāo)的運(yùn)算問(wèn)題；三角形形狀的判定可化歸為相應(yīng)向量的數(shù)量積問(wèn)題；向量的數(shù)量積公式，溝通了向量與實(shí)數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系；一些實(shí)際問(wèn)題也可以運(yùn)用向量知識(shí)去解決。

③．分類討論的思想方法。

如向量可分為共線向量與不共線向量；平行向量(共線向量)可分為同向向量和反向向量；向量在方向上的投影隨著它們之間的夾角的不同，有正數(shù)、負(fù)數(shù)和零三種情形；定比分點(diǎn)公式中的隨分點(diǎn)P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。

3．向量知識(shí)，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視. 數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長(zhǎng)；②求夾角；③判垂直；

2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

特別注意：

(1)結(jié)合律不成立：；

(2)消去律不成立不能得到；

(3)=0不能得到=或=。

1．兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別

(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定；

(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成·；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積×，而×是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替；

(3)在實(shí)數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若¹0，且×=0，不能推出=。因?yàn)槠渲衏osq有可能為0；

(4)已知實(shí)數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c。但是×= ×；

如右圖：×= |||cosb = |||OA|，×c = ||c|cosa = |||OA|Þ× =×，但 ¹；

　(5)在實(shí)數(shù)中，有(×) = 　(×)，但是(×)¹ 　(×)，顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與c不共線。

題型1：數(shù)量積的概念

例1．判斷下列各命題正確與否：

(1)；

(2)；

(3)若，則；

(4)若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；

(5)對(duì)任意向量都成立；

(6)對(duì)任意向量，有。

解析：(1)錯(cuò)；(2)對(duì)；(3)錯(cuò)；(4)錯(cuò)；(5)錯(cuò)；(6)對(duì)。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點(diǎn)清楚為零向量，而為零。

例2．(1)(2002上海春，13)若、、為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是(　　 )

A．　 　　　　　　　 B．

C．m()=m+m　 　　　　　 　　D．

(2)(2000江西、山西、天津理，4)設(shè)、、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則

①(·)－(·)=　 ②||－||<|－|　 ③(·)－(·)不與垂直

④(3+2)(3－2)=9||²－4||²中，是真命題的有(　　 )

A.①②　 　　　　　　　　　 B.②③　 　　　　　　　　　　 C.③④　 　　　　　　　　　　 D.②④

解析：(1)答案：D；因?yàn)?sub>，而；而方向與方向不一定同向。

(2)答案：D①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。故①假；②由向量的減法運(yùn)算可知||、||、|－|恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；③因?yàn)椋?·)－(·)］·=(·)·－(·)·=0，所以垂直.故③假；④(3+2)(3－2)=9··－4·=9||²－4||²成立。故④真。

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律。

題型2：向量的夾角

例3．(1)(06全國(guó)1文，1)已知向量、滿足、，且，則與的夾角為(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

(2)(06北京文，12)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大小是　　　　　　　　　　　 。

(3)已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。

(4)(2005北京3)| |=1，| 　|=2，= + ，且⊥，則向量與的夾角為　　　　 (　　 )

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　 C．120°　　　　　　　　 D．150°

解析：(1)C；(2)；

(3)由題意，，且與的夾角為，

所以，，

，

，

同理可得。

而，

設(shè)為與的夾角，

則。

(4)C；設(shè)所求兩向量的夾角為

　　　 　即：

所以

點(diǎn)評(píng)：解決向量的夾角問(wèn)題時(shí)要借助于公式，要掌握向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算。向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見(jiàn)一斑。對(duì)于這個(gè)公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直(平行)的充要條件必需掌握。

例4．(1)(06全國(guó)1理，9)設(shè)平面向量、、的和。如果向量、、，滿足，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則(　　 )

A．－++=　　　　　　　　　　 B．-+=

C．+-=　　　　　　　　　　　 D．++=

(2)(06湖南理，5)已知 且關(guān)于的方程有實(shí)根, 則與的夾角的取值范圍是(　　 )

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　 D．

解析：(1)D；(2)B；

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于平面向量的數(shù)量積要學(xué)會(huì)技巧性應(yīng)用，解決好實(shí)際問(wèn)題。

題型3：向量的模

例5．(1)(06福建文，9)已知向量與的夾角為，則等于(　 )

　 A．5　　B．4　　C．3　　D．1

(2)(06浙江文，5)設(shè)向量滿足,,則(　 )

A．1　　　　　 　　　B．2　　　　　 　　　C．4　　　　　 　　D．5

解析：(1)B；(2)D；

點(diǎn)評(píng)：掌握向量數(shù)量積的逆運(yùn)算，以及。

例6．已知＝(3，4)，＝(4，3)，求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。

解析：由＝(3，4)，＝(4，3)，有x+y=(3x+4y,4x+3y)；

又(x+y)⊥(x+y)·＝03(3x+4y)+4(4x+3y)=0；

即25x+24y＝0　　　　　　　　　　　 ①；

又｜x+y｜=1｜x+y｜²＝1；

(3x+4y)²+(4x+3y)²＝1；

整理得25x²+48xy+25y²＝1即x(25x+24y)+24xy+25y²＝1　　 ②；

由①②有24xy+25y²＝1　　　　　　　 ③；

將①變形代入③可得：y=±；

再代回①得：。

點(diǎn)評(píng)：這里兩個(gè)條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。

題型4：向量垂直、平行的判定

例7．(2005廣東12)已知向量，，且，則　　　 。

解析：∵，∴，∴，∴。

例8．已知，，，按下列條件求實(shí)數(shù)的值。(1)；(2)；。

解析：

(1)；

(2)；

。

點(diǎn)評(píng)：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算。

題型5：平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用

例9．已知。

　　 分析：，可以看作向量的模的平方，而則是、的數(shù)量積，從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。

　　 證明：設(shè)

　　 則。

點(diǎn)評(píng)：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如等。

例10．已知，其中。

　　 (1)求證：與互相垂直；

　　 (2)若與()的長(zhǎng)度相等，求。

　　 解析：(1)因?yàn)?sub>

　　 所以與互相垂直。

　　 (2)，

　　 ，

　　 所以，

　　 ，

　　 因?yàn)?sub>，

　 　所以，

　　 有，

　　 因?yàn)?sub>，故，

　　 又因?yàn)?sub>，

所以。

點(diǎn)評(píng)：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計(jì)考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理�？墒菇忸}過(guò)程得到簡(jiǎn)化，從而提高解題的速度。

題型6：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用

例11．(2002年高考題)已知兩點(diǎn)，且點(diǎn)P(x，y)使得，成公差小于零的等差數(shù)列。

(1)求證；

(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，記與的夾角為，求。

解析：(1)略解：，由直接法得

(2)當(dāng)P不在x軸上時(shí)，

而

所以，當(dāng)P在x軸上時(shí)，，上式仍成立。

圖1

點(diǎn)評(píng)：由正弦面積公式得到了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系，由面積相等法建立等量關(guān)系。

例12．用向量法證明：直徑所對(duì)的圓周角是直角。

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O上任一點(diǎn)(不與A、B重合)，求證：∠APB＝90°。

證明：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量，則且，

，即∠APB＝90°。

點(diǎn)評(píng)：平面向量是一個(gè)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的很好工具，它具有良好的運(yùn)算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。

題型7：平面向量在物理中的應(yīng)用

例13．如圖所示，正六邊形PABCDE的邊長(zhǎng)為b，有五個(gè)力、作用于同一點(diǎn)P，求五個(gè)力的合力。

解析：所求五個(gè)力的合力為，如圖3所示，以PA、PE為邊作平行四邊形PAOE，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且O點(diǎn)在PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且F點(diǎn)在PC的延長(zhǎng)線上。

由正六邊形的性質(zhì)還可求得

故由向量的加法可知所求五個(gè)力的合力的大小為，方向與的方向相同。