1．直線與方程

(1)在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；

(2)理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；

(3)根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；

2．空間的距離問題，主要是求空間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間(限于給出公垂線段的)、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離．

求距離的一般方法和步驟是：一作--作出表示距離的線段；二證--證明它就是所要求的距離；三算--計算其值．此外，我們還常用體積法求點到平面的距離．

求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點：

①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置.

②作線面角的方法除平移外，補形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”(斜足與垂足)，而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理.

③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種：

根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理(或其逆定理)作，難點在于找到面的垂線.解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面。作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則.此外在解答題中一般不用公式“cosθ＝”求二面角否則要適當扣分。

④求點到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點在面內(nèi)的射影，此時�？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì).而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法.

⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離

求距離的關(guān)鍵是化歸。即空間距離與角向平面距離與角化歸，各種具體方法如下：

(1)求空間中兩點間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形。

(2)求點到直線的距離和點到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法。

空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決．

1．空間的角，是對由點、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進行定量分析的一個重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角θ∈(0，)，直線與平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角θ∈(0，π)。

對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用．通過空間角的計算和應(yīng)用進一步培養(yǎng)運算能力、邏輯推理能力及空間想象能力．

(1)求異面直線所成的角，一般是平移轉(zhuǎn)化法。方法一是在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線；或過空間任一點分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角θ，構(gòu)造一個含θ的三角形，解三角形即可。方法二是補形法：將空間圖形補成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ。

(2)求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(斜足)，然后在直線上取一點(除斜足外)作平面的垂線，再連接垂足和斜足(即得直接在平面內(nèi)的射影)，最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角。

(3)求二面角，一般有直接法和間接法兩種。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根據(jù)定義作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無棱二面角先作出棱后同上進行。間接法主要是投影法：即在一個平面α上的圖形面積為S，它在另一個平面β上的投影面積為S′，這兩個平面的夾角為θ，則S′=Scosθ。

如求異面直線所成的角常用平移法(轉(zhuǎn)化為相交直線)；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角a－l－b的平面角(記作q)通常有以下幾種方法：

(1) 根據(jù)定義；

(2) 過棱l上任一點O作棱l的垂面g，設(shè)g∩a＝OA，g∩b＝OB，則∠AOB＝q(圖1)；

(3) 利用三垂線定理或逆定理，過一個半平面a內(nèi)一點A，分別作另一個平面b的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結(jié)AC，則∠ACB＝q 或∠ACB＝p－q(圖2)；

(4) 設(shè)A為平面a外任一點，AB⊥a，垂足為B，AC⊥b，垂足為C，則∠BAC＝q或∠BAC＝p－q(圖3)；

(5) 利用面積射影定理，設(shè)平面a內(nèi)的平面圖形F的面積為S，F在平面b內(nèi)的射影圖形的面積為S^¢，則cosq＝.

　 　圖 1　　　　 　　　　　　　　圖 2　　　　　　　　　　　　 圖　 3

題型1：直線間的距離問題

例1．已知正方體的棱長為1，求直線DA'與AC的距離。

　 　解法1：如圖1連結(jié)A'C'，則AC∥面A'C'D'，

連結(jié)DA'、DC'、DO'，過O作OE⊥DO'于E

因為A'C'⊥面BB'D'D，所以A'C'⊥OE。

又O'D⊥OE，所以O(shè)E⊥面A'C'D。

　　 因此OE為直線DA'與AC的距離。

在Rt△OO'D中，，可求得

點評：此題是異面直線的距離問題：可作出異面直線的公垂線。

　　 解法2：如圖2連接A'C'、DC'、B'C、AB'A'，得到分別包含DA'和AC的兩個平面A'C'D和平面AB'C，

　　 又因為A'C'∥AC，A'D∥B'C，所以面A'C'D∥面AB'C。

　　 故DA'與AC的距離就是平面A'C'D和平面AB'C的距離，連BD'分別交兩平面于兩點，易證是兩平行平面距離。

　　 不難算出，所以，所以異面直線BD與之間的距離為。

點評：若考慮到異面直線的公垂線不易做出，可分別過兩異面直線作兩平面互相平行，則異面直線的距離就是兩平面的距離。

題型2：線線夾角

例2．如圖1，在三棱錐S-ABC中，，，，，求異面直線SC與AB所成角的余弦值。

圖1

　　 解法1：用公式

　　 當直線平面，AB與所成的角為，l是內(nèi)的一條直線，l與AB在內(nèi)的射影所成的角為，則異面直線l與AB所成的角滿足。以此為據(jù)求解。

　　 由題意，知平面ABC，，由三垂線定理，知，所以平面SAC。

　　 因為，由勾股定理，得　　 。

　 　在中，，在中，。

　　 設(shè)SC與AB所成角為，則，

　 解法2：平移

過點C作CD//BA，過點A作BC的平行線交CD于D，連結(jié)SD，則是異面直線SC與AB所成的角，如圖2。又四邊形ABCD是平行四邊形。

由勾股定理，得：。

圖2

在中，由余弦定理，得：。

點評：若不垂直，可經(jīng)過如下幾個步驟求解：(1)恰當選點，作兩條異面直線的平行線，構(gòu)造平面角；(2)證明這個角(或其補角)就是異面直線所成角；(3)解三角形(常用余弦定理)，求出所構(gòu)造角的度數(shù)。

題型3：點線距離

例3．(2002京皖春，15)正方形ABCD的邊長是2，E、F分別是AB和CD的中點，將正方形沿EF折成直二面角(如圖所示).M為矩形AEFD內(nèi)一點，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為，那么點M到直線EF的距離為　　　 。

解析：過M作MO⊥EF，交EF于O，則MO⊥平面BCFE.

如圖所示，作ON⊥BC，設(shè)OM=x，

又tanMBO=，∴BO=2x

又S_△MBE=BE·MB·sinMBE=BE·ME

S_△MBC=BC·MB·sinMBC=BC·MN

∴ME=MN，而ME=，MN=，解得x=。

點評：該題較典型的反映了解決空間幾何問題的解題策略：化空間問題為平面問題來處理。

題型4：點面距離

例4．(2006福建理，18)如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2。

(Ⅰ)求證：AO⊥平面BCD；

(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的大小；

(Ⅲ)求點E到平面的距離。

(1)證明：連結(jié)OC。

∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD。

∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD。

在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=。

而AC=2，∴AO²+CO²=AC^2,

∴∠AOC=90°,即AO⊥OC。

∴AB平面BCD。

(Ⅱ)解：取AC的中點M,連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點知ME∥AB,OE∥DC。

∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角。

在△OME中，

是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴

∴

∴異面直線AB與CD所成角的大小為

(Ⅲ)解：設(shè)點E到平面ACD的距離為h.

,

∴·S_△ACD =·AO·S_△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=,

∴S_△ACD=

而AO=1, S_△CDE=

∴h=

∴點E到平面ACD的距離為。

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。

題型5：線面距離

例5．斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為4cm的正三角形，側(cè)棱AA₁與底面兩邊AB、AC均成60⁰的角，AA₁=7。

(1)求證：AA₁⊥BC；

(2)求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面積；

(3)求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；

(4)求AA₁到側(cè)面BB₁C₁C的距離。

解析：設(shè)A₁在平面ABC上的射影為0。

∵ ∠A₁AB=∠A₁AC，∴ O在∠BAC的平行線AM上。

∵ △ABC為正三角形，∴ AM⊥BC。

又AM為A₁A在平面ABC上的射影，∴ A₁A⊥BC

(2)

∵ B₁B∥A₁A，∴ B₁B⊥BC，即側(cè)面BB₁C₁C為矩形。

∴

又，∴ S_全=

　 (3)∵ cos∠A₁AB=cos∠A₁AO·cos∠OAB，∴ cos∠A₁AO=

∴ sin∠A₁AO=，∴ A₁O=A₁Asin∠A₁AO=

∴

(4)把線A₁A到側(cè)面BB₁C₁C的距離轉(zhuǎn)化為點A或A₁到平面BB₁C₁C的距離

為了找到A₁在側(cè)面BB₁C₁C上的射影，首先要找到側(cè)面BB₁C₁C的垂面

設(shè)平面AA₁M交側(cè)面BB₁C₁C于MM₁

∵ BC⊥AM，BC⊥A₁A

∴ BC⊥平面AA₁M₁M

∴ 平面AA₁M₁M⊥側(cè)面BCC₁B₁

在平行四邊形AA₁M₁M中

過A₁作A₁H⊥M₁M，H為垂足

則A₁H⊥側(cè)面BB₁C₁C

∴ 線段A₁H長度就是A₁A到側(cè)面BB₁C₁C的距離

∴

點評：線面距離往往轉(zhuǎn)化成點面距離來處理，最后可能轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積求得，體積法不用得到垂線。

題型6：線面夾角

例6．(2006浙江理，17)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點。

(Ⅰ)求證：PB⊥DM;

(Ⅱ)求CD與平面ADMN所成的角的正弦值。

解析：(I)因為是的中點，，所以。

因為平面，所以，

從而平面.

因為平面，所以.

(II)取的中點，連結(jié)、，則，

所以與平面所成的角和與平面所成的角相等。

因為平面，所以是與平面所成的角。

在中，。

點評：本題主要考查幾何體的概念、線面夾角、兩平面垂直等。能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。

題型7：面面距離

例7．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，CC₁=2，如圖：

(1)求證：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；

(2)求(1)中兩個平行平面間的距離；

(3)求點B₁到平面A₁BC₁的距離。

(1)證明：由于BC₁∥AD₁，則BC₁∥平面ACD₁，

同理，A₁B∥平面ACD₁，則平面A₁BC₁∥平面ACD₁。

(2)解：設(shè)兩平行平面A₁BC₁與ACD₁間的距離為d，則d等于D₁到平面A₁BC₁的距離。易求A₁C₁=5，A₁B=2，BC₁=，則cosA₁BC₁=，則sinA₁BC₁=，則S=。

由于，則S·d=·BB₁，代入求得d=，即兩平行平面間的距離為。

(3)解：由于線段B₁D₁被平面A₁BC₁所平分，則B₁、D₁到平面A₁BC₁的距離相等，則由(2)知點B₁到平面A₁BC₁的距離等于。

點評：立體幾何圖形必須借助面的襯托，點、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立”起來。在具體的問題中，證明和計算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在，通過對這個平面的截得，延展或構(gòu)造，綱舉目張，問題就迎刃而解了。

題型8：面面角

例8．(2006四川理，19)如圖，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，。

(Ⅰ)求證：面；

(Ⅱ)求二面角的大小。

(Ⅲ)求三棱錐的體積。

解析：(Ⅰ)證明：取的中點，連結(jié)

　 ∵分別為的中點，

∵，∴面，面

 ∴面面　 ∴面

(Ⅱ)設(shè)為的中點

∵為的中點　 ∴　 ∴面

作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得。

從而為二面角的平面角。

在中，，從而。

在中，，故二面角的正切值為。

(Ⅲ)，

作，交于，由面得，

∴面，

∴在中，，

∴。

點評：求角和距離的基本步驟是作、證、算。此外還要特別注意融合在運算中的推理過程，推理是運算的基礎(chǔ)，運算只是推理過程的延續(xù)。如求二面角，只有根據(jù)推理過程找到二面角后，進行簡單的運算，才能求出。因此，求角與距離的關(guān)鍵還是直線與平面的位置關(guān)系的論證。

3．等角定理

如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等。

2．夾角

空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為0°，90°、[0°，90°]和[0°，180°]。

(1)兩條異面直線所成的角

求法：1先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；2通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。

(2)直線和平面所成的角

求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”。

(3)二面角的度量是通過其平面角來實現(xiàn)的

解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有：(Ⅰ)定義法；(Ⅱ)利用三垂線定理或逆定理；(Ⅲ)自空間一點作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法．此外，當作二面角的平面角有困難時，可用射影面積法解之，cos  ＝，其中S 為斜面面積，S′為射影面積， 為斜面與射影面所成的二面角。

1．距離

空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點點距，點線距，點面距，線線距，線面距，面面距。其中重點是點點距、點線距、點面距以及兩異面直線間的距離．因此，掌握點、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的。

求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這個平面的距離。

(1)兩條異面直線的距離

兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離；求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度。

(2)點到平面的距離

平面外一點P 在該平面上的射影為P′，則線段PP′的長度就是點到平面的距離；求法：1“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。2等體積法。

(3)直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；

(4)平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離。

求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點點距、點線距或點面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計算求之。異面直線上兩點間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為 ，它們的公垂線AA′的長度為d ，在a 上有線段A′E ＝m ，b 上有線段AF ＝n ，那么EF ＝(“±”符號由實際情況選定)

高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道, 解答題1道), 共計總分27分左右,考查的知識點在20個以內(nèi)。隨著新的課程改革的進一步實施,立體幾何考題正朝著“多一點思考,少一點計算”的發(fā)展，從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是常考常新的熱門話題。

預(yù)測07年高考試題：

(1)單獨求夾角和距離的題目多為選擇題、填空題，分值大約5分左右；解答題中的分步設(shè)問中一定有求夾角、距離的問題，分值為6分左右；

(2)選擇、填空題考核立幾中的計算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提。

3．掌握平行平面間的距離，會求二面角及其平面角；

2．掌握點、直線到平面的距離，直線和平面所成的角；