題型1：正比例、反比例和一次函數(shù)型

例1．某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬(wàn)公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進(jìn)行了連續(xù)5年的觀測(cè)，并將每年年底的觀測(cè)結(jié)果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進(jìn)行預(yù)測(cè)：(1)如果不采取任何措施，那么到2010年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f(wàn)公頃；(2)如果從2000年底后采取植樹(shù)造林等措施，每年改造0.6萬(wàn)公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠面積減少到90萬(wàn)公頃？

解析：(1)由表觀察知，沙漠面積增加數(shù)y與年份數(shù)x之間的關(guān)系圖象近似地為一次函數(shù)y=kx+b的圖象。

將x=1，y=0.2與x=2，y=0.4，代入y=kx+b，

求得k=0.2，b=0，

所以y=0.2x(x∈N)。

因?yàn)樵�有沙漠面積為95萬(wàn)公頃，則到2010年底沙漠面積大約為

95+0.5×15=98(萬(wàn)公頃)。

(2)設(shè)從1996年算起，第x年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬(wàn)公頃，由題意得

95+0.2x－0.6(x－5)=90，

解得x=20(年)。

故到2015年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬(wàn)公頃。

點(diǎn)評(píng)：初中我們學(xué)習(xí)過(guò)的正比例、反比例和一元一次函數(shù)的定義和基本性質(zhì)，我們要牢固掌握。特別是題目中出現(xiàn)的“成正比例”、“成反比例”等條件要應(yīng)用好。

例2．(2006安徽理21)(已知函數(shù)在R上有定義，對(duì)任何實(shí)數(shù)和任何實(shí)數(shù)，都有

(Ⅰ)證明；

(Ⅱ)證明 其中和均為常數(shù)；

證明(Ⅰ)令，則，∵，∴。

(Ⅱ)①令，∵，∴，則。

假設(shè)時(shí)，，則，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假設(shè)時(shí)，，則，而，∴，即成立�！�成立。

點(diǎn)評(píng)：該題應(yīng)用了正比例函數(shù)的數(shù)字特征，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。而不是一味的向函數(shù)求值方面靠攏。

題型2：二次函數(shù)型

例3．一輛中型客車(chē)的營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N)的變化關(guān)系如表所示，則客車(chē)的運(yùn)輸年數(shù)為()時(shí)該客車(chē)的年平均利潤(rùn)最大。

(A)4　　 (B)5　　 (C)6　　 (D)7

x年	4	6	8	…
(萬(wàn)元)	7	11	7	…

解析：表中已給出了二次函數(shù)模型

，

由表中數(shù)據(jù)知，二次函數(shù)的圖象上存在三點(diǎn)(4，7)，(6，11)，(8，7)，則

。

解得a=－1，b=12，c=-25，

即。

而取“=”的條件為，

即x=5，故選(B)。

點(diǎn)評(píng)：一元二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中最重要的一個(gè)模型，解決此類問(wèn)題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì)，解決好實(shí)際問(wèn)題。

例4．行駛中的汽車(chē)，在剎車(chē)后由于慣性的作用，要繼續(xù)向前滑行一段距離后才會(huì)停下，這段距離叫剎車(chē)距離。為測(cè)定某種型號(hào)汽車(chē)的剎車(chē)性能，對(duì)這種型號(hào)的汽車(chē)在國(guó)道公路上進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試所得數(shù)據(jù)如下表。在一次由這種型號(hào)的汽車(chē)發(fā)生的交通事故中，測(cè)得剎車(chē)距離為15.13m，問(wèn)汽車(chē)在剎車(chē)時(shí)的速度是多少？

解析：所求問(wèn)題就變?yōu)楦鶕?jù)上表數(shù)據(jù)，建立描述v與s之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題。此模型不能由表格中的數(shù)據(jù)直接看出，因此，以剎車(chē)時(shí)車(chē)速v為橫軸，以剎車(chē)距離s為縱軸建立直角坐標(biāo)系。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，可看出應(yīng)選擇二次函數(shù)作擬合函數(shù)。假設(shè)變量v與s之間有如下關(guān)系式：，因?yàn)檐?chē)速為0時(shí)，剎車(chē)距離也為0，所以二次曲線的圖象應(yīng)通過(guò)原點(diǎn)(0，0)。再在散點(diǎn)圖中任意選取兩點(diǎn)A(30，7.30)，B(80，44.40)代入，解出a、b、c于是

。(代入其他數(shù)據(jù)有偏差是許可的)

將s=15.13代入得

，

解得v≈45.07。

所以，汽車(chē)在剎車(chē)時(shí)的速度是45.07km/h。

例5．(2003北京春，理、文21)某租賃公司擁有汽車(chē)100輛.當(dāng)每輛車(chē)的月租金為3000元時(shí)，可全部租出.當(dāng)每輛車(chē)的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車(chē)將會(huì)增加一輛.租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.

(1)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車(chē)？

(2)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解：(1)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車(chē)輛數(shù)為： =12，所以這時(shí)租出了88輛車(chē).

(2)設(shè)每輛車(chē)的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：f(x)=(100－)(x－150)－×50，整理得：f(x)=－+162x－21000=－(x－4050)²+307050.所以，當(dāng)x=4050時(shí)，f(x)最大，其最大值為f(4050)=307050.即當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.

點(diǎn)評(píng)：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決。

題型3：分段函數(shù)型

例6．某集團(tuán)公司在2000年斥巨資分三期興建垃圾資源化處理工廠，如下表：

如果每期的投次從第二年開(kāi)始見(jiàn)效，且不考慮存貸款利息，設(shè)2000年以后的x年的總收益為f(x)(單位：千萬(wàn)元)，試求f(x)的表達(dá)式，并預(yù)測(cè)到哪一年能收回全部投資款。

解析：由表中的數(shù)據(jù)知，本題需用分段函數(shù)進(jìn)行處理。由表中的數(shù)據(jù)易得，

f(x)=。

顯然，當(dāng)n≤4時(shí)，不能收回投資款。

當(dāng)n≥5時(shí)，由f(n)=10n-24>70，

得n>9.4，取n=10。

所以到2010年可以收回全部投資款。

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題分類討論函數(shù)的解析式，從而尋求在不同情況下實(shí)際問(wèn)題的處理結(jié)果。

例7．(2000全國(guó)，21)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖2-10中(1)的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖2-10中(2)的拋物線表示.

圖2-10

(1)寫(xiě)出圖中(1)表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P＝f(t)；

寫(xiě)出圖中(2)表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q＝g(t)；

(2)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?

(注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元／10² ，kg，時(shí)間單位：天)

解：(1)由圖(1)可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

f(t)＝

由圖(2)可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

g(t)＝(t－150)²+100，0≤t≤300．

(2)設(shè)t時(shí)刻的純收益為h(t)，則由題意得h(t)＝f(t)－g(t)，

即h(t)＝

當(dāng)0≤t≤200時(shí)，配方整理得h(t)＝－(t－50)²+100，

所以，當(dāng)t＝50時(shí)，h(t)取得區(qū)間［0，200］上的最大值100；

當(dāng)200＜t≤300時(shí)，配方整理得

h(t)＝－(t－350)²+100，

所以，當(dāng)t＝300時(shí)，h(t)取得區(qū)間(200，300］上的最大值87.5.

綜上，由100＞87．5可知，h(t)在區(qū)間［0，300］上可以取得最大值100，此時(shí)t＝50，即從二月一日開(kāi)始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問(wèn)題.考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

題型4：三角函數(shù)型

例8．某港口水的深度y(m)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：h)的函數(shù)，記作y=f(t)。下面是某日水深的數(shù)據(jù)：

經(jīng)長(zhǎng)期觀察，y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)y=Asinωt+b的圖象。(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出函數(shù)y=f(t)的近似表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離為5m或5m以上時(shí)認(rèn)為是安全的(船舶停靠時(shí)，船底只需不碰海底即可)。某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5m，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，請(qǐng)問(wèn)，它最多能在港內(nèi)停留多少時(shí)間(忽進(jìn)出港所需的時(shí)間)？

解析：題中直接給出了具體的數(shù)學(xué)模型，因此可直接采用表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行解答。

(1)由表中數(shù)據(jù)易得，周期T=12，，b=10，

所以。

(2)由題意，該船進(jìn)出港時(shí)，水深應(yīng)不小于

5+6.5=11.5(m)，

所以，

化為，

應(yīng)有，

解得12k+1≤t≤12k+5　 (k∈Z)。

在同一天內(nèi)取k=0或1，

所以1≤t≤5或13≤t≤17，

所以該船最早能在凌晨1時(shí)進(jìn)港，最晚在下午17時(shí)出港，在港口內(nèi)最多停留16個(gè)小時(shí)。

點(diǎn)評(píng)：三角型函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題要以三角函數(shù)的性質(zhì)為先，通過(guò)其單調(diào)性、周期性等性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。特別是與物理知識(shí)中的電壓、電流、簡(jiǎn)諧振動(dòng)等知識(shí)結(jié)合到到一塊來(lái)出題，為此我們要對(duì)這些物理模型做到深入了解。

題型5：不等式型

例9．(2006湖南理20)對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: 為, 要求清洗完后的清潔度為.　 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗;　 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質(zhì)量變?yōu)?sub>. 設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,

其中是該物體初次清洗后的清潔度.。

(Ⅰ)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 當(dāng)為某固定值時(shí), 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響.

解析：(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19.

由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程:　　　 解得y=4,故z=4+3.

即兩種方案的用水量分別為19與4+3.

因?yàn)楫?dāng),故方案乙的用水量較少.

(II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似(I)得

，(*)

于是+

當(dāng)為定值時(shí),,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)

將代入(*)式得

故時(shí)總用水量最少,

此時(shí)第一次與第二次用水量分別為,　　

最少總用水量是.

當(dāng),故T()是增函數(shù)，這說(shuō)明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.

點(diǎn)評(píng)：該題建立了函數(shù)解析式后，通過(guò)基本不等式“”解釋了函數(shù)的最值情況，而解決了實(shí)際問(wèn)題。該問(wèn)題也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷。

例10．(2001上海，文、理21)用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥．對(duì)用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個(gè)單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上．設(shè)用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)f(x).

(1)試規(guī)定f(0)的值，并解釋其實(shí)際意義；

(2)試根據(jù)假定寫(xiě)出函數(shù)f(x)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)；

(3)設(shè)f(x)=，現(xiàn)有a(a＞0)單位量的水，可以清洗一次，也

可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問(wèn)用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少?說(shuō)明理由

解：(1)f(0)=1表示沒(méi)有用水洗時(shí)，蔬菜上的農(nóng)藥量將保持原樣．

(2)函數(shù)f(x)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)是：f(0)=1，f(1)=，

在［0，+∞)上f(x)單調(diào)遞減，且0＜f(x)≤1．

(3)設(shè)僅清洗一次，殘留的農(nóng)藥量為f₁＝，清洗兩次后，殘留的農(nóng)藥量為

f₂＝，

則f₁－f₂＝．

于是，當(dāng)a＞2時(shí)，f₁＞f₂；當(dāng)a=2時(shí)，f₁＝f₂；當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f₁＜f₂．

因此，當(dāng)a＞2時(shí)，清洗兩次后殘留的農(nóng)藥量較少；

當(dāng)a=2時(shí)，兩種清洗方法具有相同的效果；

當(dāng)0＜a＜2時(shí)，一次清洗殘留的農(nóng)藥量較少．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。以及函數(shù)概念、性質(zhì)和不等式證明的基本方法。

題型6：指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)

例11．有一個(gè)湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合。

用，表示某一時(shí)刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)(我們稱其湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù))，表示湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

(1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；

(2)分析時(shí)，湖水的污染程度如何。

解析： (1)設(shè)，

因?yàn)?sub>為常數(shù)，，即，

則；

(2)設(shè)，

=

因?yàn)?sub>，，。污染越來(lái)越嚴(yán)重。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解釋實(shí)際問(wèn)題。我們要掌握底數(shù)兩種基本情況下函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性和值域的差別，它能幫我們解釋具體問(wèn)題。譬如向題目中出現(xiàn)的“污染越來(lái)越嚴(yán)重”還是“污染越來(lái)越輕”

例12．現(xiàn)有某種細(xì)胞100個(gè)，其中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次，即由1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可以超過(guò)個(gè)？(參考數(shù)據(jù)：).

解析：現(xiàn)有細(xì)胞100個(gè)，先考慮經(jīng)過(guò)1、2、3、4個(gè)小時(shí)后的細(xì)胞總數(shù)，

　 　1小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；

2小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；

3小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；

4小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；

可見(jiàn)，細(xì)胞總數(shù)與時(shí)間(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為：　 ，

由，得，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得，

∴，

∵，

∴.　

答：經(jīng)過(guò)46小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)超過(guò)個(gè)。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)要熟練應(yīng)用近似計(jì)算的知識(shí)，來(lái)對(duì)事件進(jìn)行合理的解析。

1．解決實(shí)際問(wèn)題的解題過(guò)程

(1)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象概括：研究實(shí)際問(wèn)題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的主、被動(dòng)關(guān)系，并用x、y分別表示問(wèn)題中的變量；

(2)建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；

(3)求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù)知識(shí)求得函數(shù)模型的解，并還原為實(shí)際問(wèn)題的解.

這些步驟用框圖表示：

函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，高考對(duì)應(yīng)用題的考察即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢(shì)。高考中重視對(duì)環(huán)境保護(hù)及數(shù)學(xué)課外的的綜合性應(yīng)用題等的考察。出于“立意”和創(chuàng)設(shè)情景的需要，函數(shù)試題設(shè)置問(wèn)題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考察，加大函數(shù)應(yīng)用題、探索題、開(kāi)放題和信息題的考察力度，從而使高考考題顯得新穎、生動(dòng)和靈活。

預(yù)測(cè)2007年的高考，將再現(xiàn)其獨(dú)特的考察作用，而函數(shù)類應(yīng)用題，是考察的重點(diǎn)，因而要認(rèn)真準(zhǔn)備應(yīng)用題型、探索型和綜合題型，加大訓(xùn)練力度，重視關(guān)于函數(shù)的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)和方法尋求規(guī)律找出解題策略。

(1)題型多以大題出現(xiàn)，以實(shí)際問(wèn)題為背景，通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，解釋問(wèn)題；

(2)題目涉及的函數(shù)多以基本初等函數(shù)為載體，通過(guò)它們的性質(zhì)(單調(diào)性、極值和最值等)來(lái)解釋生活現(xiàn)象，主要涉計(jì)經(jīng)濟(jì)、環(huán)保、能源、健康等社會(huì)現(xiàn)象。

2．收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等)的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。

1．利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長(zhǎng)差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義；

2．學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個(gè)方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問(wèn)題。

由于二次函數(shù)的解析式簡(jiǎn)捷明了，易于變形(一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式等)，所以，在解決二次函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，常常借助其解析式，通過(guò)純代數(shù)推理，進(jìn)而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。

(1)二次函數(shù)的一般式中有三個(gè)參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于：通過(guò)三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù)。

(2)數(shù)形結(jié)合：二次函數(shù)的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對(duì)稱性、單調(diào)性、凹凸性等。結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，可以化難為易，形象直觀。因?yàn)槎�次函�?shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得。

1．函數(shù)零點(diǎn)的求法：

①(代數(shù)法)求方程的實(shí)數(shù)根；

②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。

題型1：方程的根與函數(shù)零點(diǎn)

例1．(1)方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為(　 )

A．(0，1)　　　　　 B．(1，2)　　　　　 C．(2，3)　　　　　 D．(3，+∞)

(2)設(shè)a為常數(shù)，試討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)。

解析：

(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫(huà)圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實(shí)際上這是要比較與2的大小。當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選C。

(2)原方程等價(jià)于

即

構(gòu)造函數(shù)和，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)情況可得：

①當(dāng)或時(shí)，原方程有一解；

②當(dāng)時(shí)，原方程有兩解；

③當(dāng)或時(shí)，原方程無(wú)解。

點(diǎn)評(píng)：圖象法求函數(shù)零點(diǎn)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。本題是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫。不僅要通過(guò)圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過(guò)比較其大小進(jìn)行判斷。

例2．(2005廣東19)設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有。

(Ⅰ)試判斷函數(shù)的奇偶性；

(Ⅱ)試求方程=0在閉區(qū)間［－2005，2005］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。

解析：由f(2－x)=f(2+x),f(7－x)=f(7+x)得函數(shù)的對(duì)稱軸為,

從而知函數(shù)不是奇函數(shù),

由

,從而知函數(shù)的周期為

又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);

(II)由

(III) 又

故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有兩個(gè)解,從而可知函數(shù)在[0,2005]上有402個(gè)解,在[－2005.0]上有400個(gè)解,所以函數(shù)在[－2005,2005]上有802個(gè)解。

點(diǎn)評(píng)：解題過(guò)程注重了函數(shù)的數(shù)字特征“”，即函數(shù)的零點(diǎn)，也就是方程的根。

題型2：零點(diǎn)存在性定理

例3．(2004廣東21)設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)為整數(shù)。

(1)當(dāng)為何值時(shí)，；

(2)定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且與異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)，使得

試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)時(shí)，方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。

解析：(1)函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續(xù)，且

當(dāng)x∈(－m,1－m)時(shí),f ^’(x)<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1－m)

當(dāng)x∈(1－m, +∞)時(shí),f ^’(x)>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1－m)

根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1－m)=1－m為極小值，而且

對(duì)x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m

故當(dāng)整數(shù)m≤1時(shí)，f(x) ≥1－m≥0

(2)證明：由(I)知，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，f(1－m)=1-m<0,

函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù).

由所給定理知，存在唯一的

而當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，

類似地，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號(hào)，由所給定理知，存在唯一的

故當(dāng)m>1時(shí)，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。

點(diǎn)評(píng)：本題以信息給予的形式考察零點(diǎn)的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。

例4．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說(shuō)法正確的是(　 )

A．若，不存在實(shí)數(shù)使得；

B．若，存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得；

C．若，有可能存在實(shí)數(shù)使得；

D．若，有可能不存在實(shí)數(shù)使得；

解析：由零點(diǎn)存在性定理可知選項(xiàng)D不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，可通過(guò)反例“在區(qū)間上滿足，但其存在三個(gè)解”推翻；同時(shí)選項(xiàng)A可通過(guò)反例“在區(qū)間上滿足，但其存在兩個(gè)解”；選項(xiàng)D正確，見(jiàn)實(shí)例“在區(qū)間上滿足，但其不存在實(shí)數(shù)解”。

點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題詳細(xì)介紹了零點(diǎn)存在性定理的理論基礎(chǔ)。

題型3：二分法的概念

例5．關(guān)于“二分法”求方程的近似解，說(shuō)法正確的是()

A．“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內(nèi)的所有零點(diǎn)得到；

B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內(nèi)的零點(diǎn)；

C．應(yīng)用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]內(nèi)有可能無(wú)零點(diǎn)；

D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內(nèi)的精確解；

解析：如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設(shè)，且在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)及以上的實(shí)根，二分法只可能求出其中的一個(gè)，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解，二分法的實(shí)施滿足零點(diǎn)存在性定理，在區(qū)間內(nèi)一定存在零點(diǎn)，甚至有可能得到函數(shù)的精確零點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：該題深入解析了二分法的思想方法。

例6．方程在[0，1]內(nèi)的近似解，用“二分法”計(jì)算到達(dá)到精確度要求。那么所取誤差限是(　 )

A．0.05 　　　　B．0.005　　　　 C．0.0005　　　 D．0.00005

解析：由四舍五入的原則知道，當(dāng)時(shí)，精度達(dá)到。此時(shí)差限是0.0005，選項(xiàng)為C。

點(diǎn)評(píng)：該題考察了差限的定義，以及它對(duì)精度的影響。

題型4：應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點(diǎn)和方程的近似解

例7．借助計(jì)算器，用二分法求出在區(qū)間(1，2)內(nèi)的近似解(精確到0.1)。

解析：原方程即。

令，

用計(jì)算器做出如下對(duì)應(yīng)值表

觀察上表，可知零點(diǎn)在(1，2)內(nèi)

取區(qū)間中點(diǎn)=1.5，且，從而，可知零點(diǎn)在(1，1.5)內(nèi)；

再取區(qū)間中點(diǎn)=1.25，且，從而，可知零點(diǎn)在(1.25，1.5)內(nèi)；

同理取區(qū)間中點(diǎn)=1.375，且，從而，可知零點(diǎn)在(1.25，1.375)內(nèi)；

由于區(qū)間(1.25，1.375)內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3。故結(jié)果是1.3。

點(diǎn)評(píng)：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過(guò)程，通過(guò)本題學(xué)會(huì)借助精度終止二分法的過(guò)程。

例8．借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解(精確到)。

分析：本例除借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個(gè)數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個(gè)數(shù)？

略解：圖象在閉區(qū)間，上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在，上至多有一個(gè)零點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：①第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長(zhǎng)度，通�？纱_定一個(gè)長(zhǎng)度為1的區(qū)間；

②建議列表樣式如下：

零點(diǎn)所在區(qū)間	中點(diǎn)函數(shù)值	區(qū)間長(zhǎng)度
[1，2]	>0	1
[1，1.5]	<0	0.5
[1.25，1.5]	<0	0.25

如此列表的優(yōu)勢(shì)：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長(zhǎng)度小于精度時(shí)，即為計(jì)算的最后一步。

題型5：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點(diǎn)

例9．　設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足.　 當(dāng)時(shí)，證明。

證明：由題意可知，

,

∴ ,

∴　 當(dāng)時(shí)，。

又,

∴　 ,

綜上可知，所給問(wèn)題獲證。

點(diǎn)評(píng)：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫(xiě)出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式。

例10．已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和.

(1)如果，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸為，求證：；

(2)如果，，求的取值范圍.

解析：設(shè)，則的二根為和。

(1)由及，可得　 ，即，

即

兩式相加得，所以，；

(2)由, 可得　 。

又，所以同號(hào)。

∴ ，等價(jià)于

或,

即　 或

解之得　 或。

點(diǎn)評(píng)：條件實(shí)際上給出了的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化。

題型6：一元二次函數(shù)與一元二次不等式

例11．設(shè)，若，，, 試證明：對(duì)于任意，有。

解析：∵ ,

∴ ,

∴ .

∴ 當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

綜上，問(wèn)題獲證。

點(diǎn)評(píng)：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用來(lái)表示。

例12．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，求證：當(dāng)時(shí)，有

解析：由題意知：，

∴ ，

∴ 。

由時(shí)，有，可得 。

∴ 　,

。

　　 (1)若，則在上單調(diào)，故當(dāng)時(shí)，

∴ 　此時(shí)問(wèn)題獲證.

(2)若，則當(dāng)時(shí)，　　　　　　　　　

又，

∴ 　此時(shí)問(wèn)題獲證。

綜上可知：當(dāng)時(shí)，有。

點(diǎn)評(píng)：研究的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說(shuō)，應(yīng)該盡量用已知條件來(lái)表達(dá)參數(shù). 確定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考慮，，，這樣做的好處有兩個(gè)：一是的表達(dá)較為簡(jiǎn)潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)，這樣做能夠較好地利用條件來(lái)達(dá)到控制二次函數(shù)范圍的目的。

要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮在區(qū)間端點(diǎn)和頂點(diǎn)處的函數(shù)值。

題型7：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

例13．(1996上海，文、理8)在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax²+bx與指數(shù)函數(shù)y=()^x的圖象只可能是(　　 )

解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1.拋物線方程是y=a(x+)²－，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－，－)，又由0<<1，可得－<－<0.觀察選擇支，可選A。

解析二：求y=ax²+bx與x軸的交點(diǎn)，令ax²+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0.故選A。

點(diǎn)評(píng)：本題雖小，但一定要細(xì)致觀察圖象，注意細(xì)微之處，獲得解題靈感。

例14．(2002全國(guó)高考題)設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=x²+|x－a|+1,x∈R.

(1)討論f(x)的奇偶性

(2)求f(x)的最小值.

解：(1)顯然a=0時(shí)，f(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)=a²+1, f(－a)=a²+2|a|+1

f(a)≠f(－a), f(a)+f(－a)≠0

∴ 此時(shí)f(x)為非奇非偶函數(shù).

(2)首先應(yīng)先去掉絕對(duì)值，再進(jìn)行討論.

①當(dāng)x≤a時(shí)，.

若,則f(x)在區(qū)間(-∞，a]上單調(diào)遞減，

∴ 　f(x)的最小值為f(a)=a²+1.(如圖(I))

若，則f(x)在區(qū)間(-∞，a]上的最小值為(如圖II).

②當(dāng)x≥a時(shí)，，

若，則f(x)在[a,+∞]上的最小值為(如圖III)。

若，則f(x)在[a,+∞]上單調(diào)遞增。

則f(x)在[a,+∞]上的最小值為f(a)=a²+1.(如圖IV)。

綜上，當(dāng)時(shí)，f(x)最小值為。

當(dāng)時(shí)，f(x)最小值為a²+1。

當(dāng)時(shí)，f(x)最小值為。

點(diǎn)評(píng)：該題考察到函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考察了分類討論的思想。

題型8：二次函數(shù)的綜合問(wèn)題

例15．(2005浙江文20)已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且。

(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解析：(Ⅰ)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則

∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上

∴

(Ⅱ)由

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式無(wú)解。

當(dāng)時(shí)，，解得。

因此，原不等式的解集為。

(Ⅲ)

①

②

ⅰ)

ⅱ)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象的對(duì)稱、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力。

例16．已知函數(shù)。

(1)將的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)，求函數(shù)的解析式；

(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求函數(shù)的解析式；

(3)設(shè)，已知的最小值是且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解析：(1)

(2)設(shè)的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由點(diǎn)Q在的圖像上，所以

　　　　 ，

于是　　　

即　　　　

(3)。

設(shè)，則。

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)恒成立.　 即

　　　　　 對(duì)恒成立.　　 (*)

故必有.(否則，若，則關(guān)于的二次函數(shù)開(kāi)口向下，當(dāng)充分大時(shí)，必有；而當(dāng)時(shí)，顯然不能保證(*)成立.)，此時(shí)，由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸，所以，問(wèn)題等價(jià)于，即，

解之得：。

此時(shí)，，故在取得最小值滿足條件。

點(diǎn)評(píng)：緊扣二次函數(shù)的頂點(diǎn)式對(duì)稱軸、最值、判別式顯合力。

3．二次函數(shù)的基本性質(zhì)

(1)二次函數(shù)的三種表示法：y=ax²+bx+c；y=a(x－x₁)(x－x₂)；y=a(x－x₀)²+n。

(2)當(dāng)a>0，f(x)在區(qū)間［p，q］上的最大值M，最小值m，令x₀= (p+q)。

若－<p，則f(p)=m，f(q)=M；

若p≤－<x₀，則f(－)=m，f(q)=M；

若x₀≤－<q，則f(p)=M，f(－)=m；

若－≥q，則f(p)=M，f(q)=m。

(3)二次方程f(x)=ax²+bx+c=0的實(shí)根分布及條件。

①方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0；

②二次方程f(x)=0的兩根都大于r

③二次方程f(x)=0在區(qū)間(p，q)內(nèi)有兩根

④二次方程f(x)=0在區(qū)間(p，q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(檢驗(yàn))或f(q)=0(檢驗(yàn))檢驗(yàn)另一根若在(p，q)內(nèi)成立。