2．我們以這個5次多項式函數(shù)為例加以說明，設(shè)：

f(x)=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀

首先，讓我們以5次多項式一步步地進(jìn)行改寫：

f(x)=(a₅x⁴+a₄x³+a₃x²+a₂x+a₁)x+a₀

=((a₅x³+a₄x²+ a₃x+a₂)x+a₁)x+a₀

=(((a₅x²+a₄x+ a₃)x+a₂)x+a₁)x+a₀

=((((a₅x+a₄)x+ a₃)x+a₂)x+a₁)x+a₀

上面的分層計算。只用了小括號，計算時，首先計算最內(nèi)層的括號，然后由里向外逐層計算，直到最外層的括號，然后加上常數(shù)項即可。

1．求最大公約數(shù)

(1)輾轉(zhuǎn)相除法

程序框圖與程序語句

程序：

INPUT “m，n=”;m,n

DO

r=m MOD n

m=n

n=r

LOOP UNTIL r=0

PRINT 　　

END

(2)更相減損術(shù)

更相減損術(shù)程序：

INPUT “請輸入兩個不相等的正整數(shù)”；a，b

i=0

WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0

a=a/2

b=b/2

i=i+1

WEND

DO

IF b<a THEN

t=a

a=b

b=t

END IF

c=a－b

a=b

b=c

LOOP UNTIL a=b

PRINT a^i

END

對于兩個正整數(shù)如何選擇合適的方法求他們的最大公約數(shù)

6]　　 －3　　　 0　　　 15

[－3　　 6]　　　 0　　　 15

[－3　　 0　　　 6]　　 15

[－3　　 0　　　 6　　　 15]

用冒泡排序法排序：

題型4：進(jìn)位值

例7．把十進(jìn)制數(shù)89化為三進(jìn)制數(shù)，并寫出程序語句.

解析：具體的計算方法如下：

89=3×29+2

29=3×9+2

9=3×3+0

3=3×1+0

1=3×0+1

所以:89₍₁₀₎=1011001₍₃₎。

點評：根據(jù)三進(jìn)制數(shù)滿三進(jìn)一的原則，可以用3連續(xù)去除89及其所的得的商，然后按倒序的先后順序取出余數(shù)組成數(shù)據(jù)即可。

例8．將8進(jìn)制數(shù)314706₍₈₎化為十進(jìn)制數(shù)，并編寫出一個實現(xiàn)算法的程序。

解析：314706₍₈₎=3×8⁵+1×8⁴+4×8³+7×8²+0×8¹+6×8⁰=104902。

所以，化為十進(jìn)制數(shù)是104902。

點評：利用把k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法就可以把8進(jìn)制數(shù)314706₍₈₎化為十進(jìn)制數(shù)，然后根據(jù)該算法，利用GET函數(shù)，應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)可以設(shè)計程序。

題型1：求最大公約數(shù)

例1．(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求123和48的最大公約數(shù)？

(2)用更相減損來求80和36的最大公約數(shù)？

解析：(1)輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的過程如下：(建立帶余除式)

　123＝2×48+27

　48＝1×27+21

　27＝1×21+6

　21＝3×6+3

　6＝2×3+0

最后6能被3整除，得123和48的最大公約數(shù)為3。

(2)分析：我們將80作為大數(shù)，36作為小數(shù)，執(zhí)行更相減損術(shù)來求兩數(shù)的最大公約數(shù)。執(zhí)行結(jié)束的準(zhǔn)則是減數(shù)和差相等。

更相減損術(shù)：

因為80和36都是偶數(shù)，要去公因數(shù)2。

80÷2=40，36÷2=18；

40和18都是偶數(shù)，要去公因數(shù)2。

40÷2=20，18÷2=9

下面來求20與9的最大公約數(shù)，

20－9=11

11－9=2

9－2=7

7－2=5

5－2=3

3－2=1

2－1=1

可得80和36的最大公約數(shù)為2²×1=4。

點評：對比兩種方法控制好算法的結(jié)束，輾轉(zhuǎn)相除法是到達(dá)余數(shù)為0，更相減損術(shù)是到達(dá)減數(shù)和差相等。

例2．設(shè)計一個算法，求出840與1764的最大公因數(shù)。

解析：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過了對自然數(shù)的素因數(shù)分解的方法，下面的算法就是在此基礎(chǔ)上設(shè)計的。

解題思路如下：

首先對兩個數(shù)進(jìn)行素因數(shù)分解：

840=2³×3×5×7，1764=2²×3²×7²_，

其次，確定兩個數(shù)的公共素因數(shù)：2，3，7。

接著確定公共素因數(shù)的指數(shù)：對于公共素因數(shù)2，840中為2³，1764中為2²，應(yīng)取較少的一個2²，同理可得下面的因數(shù)為3和7。

算法步驟：

第一步：將840進(jìn)行素數(shù)分解2³×3×5×7；

第二步：將1764進(jìn)行素數(shù)分解2²×3²×7²；

第三步：確定它們的公共素因數(shù)：2，3，7；

第四步：確定公共素因數(shù)2，3，7的指數(shù)分別是：2，1，1；

第五步：最大公因數(shù)為2²×3¹×7¹=84。

點評：質(zhì)數(shù)是除1以外只能被1和本身整除的正整數(shù)，它應(yīng)該是無限多個，但是目前沒有一個規(guī)律來確定所有的質(zhì)數(shù)。

題型2：秦九韶算法

例3．(2005北京，14)已知n次多項式，如果在一種算法中，計算(k＝2，3，4，…，n)的值需要k－1次乘法，計算的值共需要9次運算(6次乘法，3次加法)，那么計算的值共需要　　　　　　　 次運算。下面給出一種減少運算次數(shù)的算法：(k＝0， 1，2，…，n－1)．利用該算法，計算的值共需要6次運算，計算的值共需要　　　　 次運算。

答案：65；20。

點評：秦九韶算法適用一般的多項式f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+….+a₁x+a₀的求值問題。直接法乘法運算的次數(shù)最多可到達(dá)，加法最多n次。秦九韶算法通過轉(zhuǎn)化把乘法運算的次數(shù)減少到最多n次，加法最多n次。

例4．已知多項式函數(shù)f(x)=2x⁵－5x⁴－4x³+3x²－6x+7，求當(dāng)x=5時的函數(shù)的值。

解析：把多項式變形為：f(x)= 2x⁵－5x⁴－4x³+3x²－6x+7

=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7

計算的過程可以列表表示為：

多項式x系數(shù)	2	－5	－4	3	－6	7	運算
運算所得的值		10	25	105	540	2670	+
變形后x的"系數(shù)"	2	5	21	108	534	2677	*5

最后的系數(shù)2677即為所求的值。

算法過程：

v₀=2

v₁=2×5－5=5

v₂=5×5－4=21

v₃=21×5+3=108

v₄=108×5－6=534

v₅=534×5+7=2677

點評：如果多項式函數(shù)中有缺項的話，要以系數(shù)為0的項補齊后再計算。

題型三：排序

例4．試用兩種排序方法將以下8個數(shù)：7,1,3,12,8,4,9,10。按照從大到小的順序進(jìn)行排序。

解析：可以按照直接插入排序和冒泡排序這兩種方法的要求，結(jié)合圖形，分析寫出。

直接插入法排序：

7]　 1　 3　 12　 8　 4　 9　 10

[7　 1]　 3　 12　 8　 4　 9　 10

[7　 3　 1]　 12　 8　 4　 9　 10

[12　 7　 3　　 1]　 8　 4　 9　 10

[12　 8　 7　　 3　 1]　 4　 9　 10

[12　 8　 7　　 4　　 3　 1]　 9　 10

[12　 9　 8　　 7　　 4　 3　 1]　 10

[12　 10　 9　　 8　　 7　　 4　 3　 1]　

冒泡排序

第一趟

第2趟　 第3趟　　 第4趟　　 第5趟　 第6趟

點評：直接插入法和冒泡法排序是常見的排序方法，通過該例，我們對比可以發(fā)現(xiàn)，直接插入排序比冒泡排序更有效一些，執(zhí)行的操作步驟更少一些。

例6．給出以下四個數(shù)：6，－3，0，15，用直接插入法排序?qū)⑺鼈儼磸男〉酱蟮捻樞蚺帕�，用冒泡法將它們按從大到小的順序排列�?/p>

分析：不論從大到小的順序還是按從大到小的順序，都可按兩種方法的步驟進(jìn)行排序。

解析：

直接插入排序法：

4．進(jìn)位制

(1)概念

進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值�？墒褂脭�(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制。現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。

對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：

，

而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001₍₂₎表示二進(jìn)制數(shù),34₍₅₎表示5進(jìn)制數(shù)。

(2)進(jìn)位制間的轉(zhuǎn)換

關(guān)于進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換，教科書上以十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換為例講解，并推廣到十進(jìn)制和其它進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換。這樣做的原因是，計算機(jī)是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲和計算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計算機(jī)的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)據(jù)，因此計算機(jī)必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再處理，顯然運算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù)，同時計算機(jī)又把運算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出。

非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)比較簡單，只要計算下面的式子值即可：

第一步：從左到右依次取出k進(jìn)制數(shù)各位上的數(shù)字，乘以相應(yīng)的k的冪，k的冪從n開始取值，每次遞減1，遞減到0，即；

第二步：把所得到的乘積加起來，所得的結(jié)果就是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)

把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，教科書上提供了“除2取余法”，我們可以類比得到十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進(jìn)制數(shù)的算法“除k取余法”。

非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換

一個自然的想法是利用十進(jìn)制作為橋梁。教科書上提供了一個二進(jìn)制數(shù)據(jù)與16進(jìn)制數(shù)據(jù)之間的互化的方法，也就是先有二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，再由十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成為16進(jìn)制數(shù)。

7．將新數(shù)據(jù)列中的第7個數(shù)97與右邊相鄰的數(shù)49進(jìn)行比較，因為49<97，97應(yīng)下沉，所以順序改變，得到新的數(shù)據(jù)列：

{38，49，65， 76， 13，97， 49，27}

我們把上述過程稱為一趟排序。其基本特征是最大的數(shù)據(jù)沉到底，即排在最左邊位置上的數(shù)據(jù)是數(shù)組中最大的數(shù)據(jù)。反復(fù)執(zhí)行上面的步驟，就能完成排序工作，排序過程不會超過7趟。這種排序的方法稱為冒泡排序。

上面的分析具有一般性，如果數(shù)據(jù)列有n個數(shù)據(jù)組成，至多經(jīng)過n－1趟排序，就能完成整個排序過程。

6．將新數(shù)據(jù)列中的第6個數(shù)97與右邊相鄰的數(shù)27進(jìn)行比較，因為27<97，97應(yīng)下沉，所以順序改變，得到新的數(shù)據(jù)列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

5．將新數(shù)據(jù)列中的第5個數(shù)97與右邊相鄰的數(shù)13進(jìn)行比較，因為13<97，97應(yīng)下沉，所以順序改變，得到新的數(shù)據(jù)列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

4．將新數(shù)據(jù)列中的第4個數(shù)97與右邊相鄰的數(shù)76進(jìn)行比較，因為76<97，97應(yīng)下沉，所以順序不變，得到新的數(shù)據(jù)列：

{38，49，65， 76，97，13，27，49}

3．將新數(shù)據(jù)列中的第3個數(shù)65與右邊相鄰的數(shù)97進(jìn)行比較，因為97>65，所以順序不變，得到新的數(shù)據(jù)列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}