1．不等關(guān)系

通過(guò)具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景；

3．幾個(gè)重要不等式

(1)

(2)(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))

(3)如果a,b都是正數(shù)，那么 (當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))

最值定理：若則：

1如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最��；2如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大；

　　 注意：1前提：“一正、二定、三相等”，如果沒(méi)有滿足前提，則應(yīng)根據(jù)題目創(chuàng)設(shè)情境；還要注意選擇恰當(dāng)?shù)墓�式�?“和定 積最大，積定 和最小”，可用來(lái)求最值；3均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請(qǐng)注意每處取等的條件是否一致。

(當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào))；

(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))。

2．不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等。換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查。有些不等式，從正面證如果不易說(shuō)清楚，可以考慮反證法　 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法。

證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)。

1．不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。

(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述：如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證；

(2)綜合法是由因?qū)Ч�，而分析法是�?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開(kāi)擴(kuò)視野。

3．常用的證明不等式的方法

(1)比較法

比較法證明不等式的一般步驟：作差-變形-判斷-結(jié)論；為了判斷作差后的符號(hào)，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以便判斷其正負(fù)。

(2)綜合法

利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法；利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)時(shí)要注意它們各自成立的條件。

綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：，及從已知條件出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論。

(3)分析法

證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。

(1)“分析法”是從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，即“執(zhí)果索因”；

(2)綜合過(guò)程有時(shí)正好是分析過(guò)程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫(xiě)出證明過(guò)程。

2．基本不等式

定理1：如果，那么(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)。

說(shuō)明：(1)指出定理適用范圍：；(2)強(qiáng)調(diào)取“”的條件。

定理2：如果是正數(shù)，那么(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)

說(shuō)明：(1)這個(gè)定理適用的范圍：；(2)我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)。即：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

1．不等式的性質(zhì)

比較兩實(shí)數(shù)大小的方法--求差比較法

；

；

。

定理1：若，則；若，則．即。

說(shuō)明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對(duì)稱性。

定理2：若，且，則。

說(shuō)明：此定理證明的主要依據(jù)是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)；定理2稱不等式的傳遞性。

定理3：若，則。

說(shuō)明：(1)不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向；

(2)定理3的證明相當(dāng)于比較與的大小，采用的是求差比較法；

(3)定理3的逆命題也成立；

(4)不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后，可以把它從一邊移到另一邊。

定理3推論：若。

說(shuō)明：(1)推論的證明連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出；(2)這一推論可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加，即：兩個(gè)或者更多個(gè)同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；(3)同向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式；異向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式。

定理4．如果且，那么；如果且，那么。

推論1：如果且，那么。

說(shuō)明：(1)不等式兩端乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變；(2)兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；(3)推論可以推廣到任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說(shuō)，兩個(gè)或者更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。

推論2：如果， 那么 。

定理5：如果，那么 。

2．利用基本不等式解決像函數(shù)的單調(diào)性或解決有關(guān)最值問(wèn)題是考察的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。

不等式歷來(lái)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)于本將來(lái)講，考察有關(guān)不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。本將內(nèi)容在復(fù)習(xí)時(shí)，要在思想方法上下功夫。

預(yù)測(cè)2007年的高考命題趨勢(shì)：

1．從題型上來(lái)看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質(zhì)與函數(shù)、三角結(jié)合起來(lái)綜合考察不等式的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性等，多以選擇題的形式出現(xiàn)，解答題以含參數(shù)的不等式的證明、求解為主；