2．與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標(biāo)軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn)。

近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會涉及線段中點、弦長等。分析這類問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法，對稱的方法及韋達(dá)定理等。

預(yù)測07年高考：

1．會出現(xiàn)1道關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解答題；

2．掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問題。

1．通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想；

在復(fù)習(xí)過程中抓住以下幾點：

(1)堅持源于課本、高于課本，以考綱為綱的原則。高考命題的依據(jù)是《高考說明》.并明確考點及對知識點與能力的要求作出了明確規(guī)定，其實質(zhì)是精通課本，而本章考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本，因此掌握雙基、精通課本是關(guān)鍵；

(2)在注重解題方法、數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用的同時注意一些解題技巧，橢圓、雙曲線、拋物線的定義揭示了各自存在的條件、性質(zhì)及幾何特征與圓錐曲線的焦點、焦半徑、準(zhǔn)線、離心率有關(guān)量的關(guān)系問題，若能用定義法，可避免繁瑣的推理與運(yùn)算；

(3)焦半徑公式：拋物線上一點P(x₁，y₁)，F(xiàn)為拋物線的焦點，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為(p＞0)：

題型1：橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程

例1．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點到兩焦點距離的和等于；

(2)兩個焦點的坐標(biāo)分別是、，并且橢圓經(jīng)過點；

(3)焦點在軸上，，；

(4)焦點在軸上，，且過點；

(5)焦距為，；

(6)橢圓經(jīng)過兩點，。

解析：(1)∵橢圓的焦點在軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()，

∵，，∴，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

(2)∵橢圓焦點在軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()，

由橢圓的定義知，

，

∴，又∵，∴，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

(3)∵，∴，①

又由代入①得，

∴，∴，又∵焦點在軸上，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

(4)設(shè)橢圓方程為，

　∴，∴，

　又∵，∴，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

(5)∵焦距為，∴，

　∴，又∵，∴，，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．

(6)設(shè)橢圓方程為()，

　由得，

所以，橢圓方程為．

點評：求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義，還要知道橢圓中一些幾何要素與橢圓方程間的關(guān)系。

例2．(1)(06山東)已知橢圓中心在原點，一個焦點為F(－2，0)，且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 　　　　　　　　　　　　　　。

(2)(06天津理，8)橢圓的中心為點，它的一個焦點為，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程為，則這個橢圓的方程是(　)

A．　　　 　　　　　　 　　 B．

C．　　　　　 　　　　　　 　　 D．

解析：(1)已知為所求；

(2)橢圓的中心為點它的一個焦點為

∴　 半焦距，相應(yīng)于焦點F的準(zhǔn)線方程為

∴ ，，則這個橢圓的方程是，選D。

點評：求橢圓方程的題目屬于中低檔題目，掌握好基礎(chǔ)知識就可以。

題型2：橢圓的性質(zhì)

例3．(1)(06山東理，7)在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為(　　 )

(A)　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　 　　　　　　　　(D)

(2)(1999全國，15)設(shè)橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點為F₁，右準(zhǔn)線為l₁，若過F₁且垂直于x軸的弦的長等于點F₁到l₁的距離，則橢圓的離心率是　　　　 。

解析：(1)不妨設(shè)橢圓方程為(a>b>0)，則有，據(jù)此求出e＝，選B。

(2)；解析：由題意知過F₁且垂直于x軸的弦長為，

∴，∴，∴，即e=。

點評：本題重點考查了橢圓的基本性質(zhì)。

例4．(1)(2000京皖春，9)橢圓短軸長是2，長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到其準(zhǔn)線距離是(　　 )

A.　　　　 　　　　　　　 B.　　　 　　　　　 C. 　　　　　　　　　　 D.

(2)(1998全國理，2)橢圓=1的焦點為F₁和F₂，點P在橢圓上.如果線段PF₁的中點在y軸上，那么|PF₁|是|PF₂|的(　　 )

A.7倍　　　 　　　 　B.5倍　　　　 　　　　　 C.4倍　　 　　　　　 　　D.3倍

解析：(1)D；由題意知a=2，b=1，c=，準(zhǔn)線方程為x=±，

∴橢圓中心到準(zhǔn)線距離為．

(2)A；不妨設(shè)F₁(－3，0)，F₂(3，0)由條件得P(3，±)，即|PF₂|=，|PF₁|=，因此|PF₁|=7|PF₂|，故選A。

點評：本題主要考查橢圓的定義及數(shù)形結(jié)合思想，具有較強(qiáng)的思辨性，是高考命題的方向。

題型3：雙曲線的方程

例5．(1)已知焦點，雙曲線上的一點到的距離差的絕對值等于，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求與橢圓共焦點且過點的雙曲線的方程；

(3)已知雙曲線的焦點在軸上，并且雙曲線上兩點坐標(biāo)分別為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解析：(1)因為雙曲線的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

∵，∴，∴。

所以所求雙曲線的方程為；

(2)橢圓的焦點為，可以設(shè)雙曲線的方程為，則。

又∵過點，∴。

綜上得，，所以。

點評：雙曲線的定義；方程確定焦點的方法；基本量之間的關(guān)系。

(3)因為雙曲線的焦點在軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為①；

∵點在雙曲線上，∴點的坐標(biāo)適合方程①。

將分別代入方程①中，得方程組：

將和看著整體，解得，

∴即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

點評：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出的值；在求解的過程中也可以用換元思想，可能會看的更清楚。

例6．(06上海卷)已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標(biāo)為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________________.

解析：雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標(biāo)為,則焦點在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；

點評：本題主要考查雙曲線的基礎(chǔ)知識以及綜合運(yùn)用知識解決問題的能力。充分挖掘雙曲線幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為直觀簡捷。

題型4：雙曲線的性質(zhì)

例7．(1)(06福建卷)已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(　 )

A.( 1,2)　　　　　 B. (1,2)　　　　　 C.[2,+∞]　　 　　　D.(2,+∞)

(2)(06湖南卷)過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 (　 )

A.　　　　　 B.　　　　　 C.　　　　　　 D.

(3)(06陜西卷)已知雙曲線 － =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為(　 )

A.2　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

解析：(1)雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，

∴ ≥，離心率e²=，∴ e≥2，選C。

(2)過雙曲線的左頂點(1，0)作斜率為1的直線：y=x－1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點,　 聯(lián)立方程組代入消元得，

∴ ，x₁+x₂=2x₁x₂，

又,則B為AC中點，2x₁=1+x₂，代入解得，

∴ b₂=9，雙曲線的離心率e=，選A。

(3)雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則，∴ a²=6，雙曲線的離心率為 ，選D。

點評：高考題以離心率為考察點的題目較多，主要實現(xiàn)三元素之間的關(guān)系。

例8．(1)(06江西卷)P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓(x+5)²+y²＝4和(x－5)²+y²＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為(　 )

A. 6　　　　　　　 B.7　　　　　　　 C.8　　　 　　　　　D.9

(2)(06全國卷I)雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則

A．　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　 D．

(3)(06天津卷)如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是(　　 )

A． 　　　 B．　　　 C．　　　 　　 D．

解析：(1)設(shè)雙曲線的兩個焦點分別是F₁(－5，0)與F₂(5，0)，則這兩點正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點P與M、F₁三點共線以及P與N、F₂三點共線時所求的值最大，此時|PM|－|PN|＝(|PF₁|－2)－(|PF₂|－1)＝10－1＝9故選B。

(2)雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，∴ m<0，且雙曲線方程為，∴ m=，選A。

(3)如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，

∴ ，解得，所以它的兩條準(zhǔn)線間的距離是，選C。

點評：關(guān)于雙曲線漸近線、準(zhǔn)線及許多距離問題也是考察的重點。

題型5：拋物線方程

例9．(1))焦點到準(zhǔn)線的距離是2；

(2)已知拋物線的焦點坐標(biāo)是F(0，2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解析：(1)y=4x，y=4x，x=4y，x=4y；

方程是x=8y。

點評：由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數(shù)p，因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。當(dāng)拋物線的焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程給定以后，它的標(biāo)準(zhǔn)方程就唯一確定了；若拋物線的焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程沒有給定，則所求的標(biāo)準(zhǔn)方程就會有多解。

題型6：拋物線的性質(zhì)

例10．(1)(06安徽卷)若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

(2)(浙江卷)拋物線的準(zhǔn)線方程是(　 )

　(A) 　　　　(B)　 　　　(C) 　　　　　　(D)

(3)(06上海春)拋物線的焦點坐標(biāo)為(　　 )

(A).　　　 (B).　　　 (C).　　　 (D)

解析：(1)橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D；

(2)2p＝8，p＝4，故準(zhǔn)線方程為x＝－2，選A；

(3)(直接計算法)因為p=2 ，所以拋物線y²=4x的焦點坐標(biāo)為 。應(yīng)選B。

點評：考察拋物線幾何要素如焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的題目根據(jù)定義直接計算機(jī)即可。

例11．(1)(全國卷I)拋物線上的點到直線距離的最小值是(　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

(2)(2002全國文，16)對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：

①焦點在y軸上；

②焦點在x軸上；

③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6；

④拋物線的通徑的長為5；

⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2，1)。

(3)(2001廣東、河南，10)對于拋物線y²=4x上任意一點Q，點P(a，0)都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是(　　 )

A.(－∞，0)　 　　　　　　　 B.(－∞，2　　　 C.［0，2］　　　　　　　　　 D.(0，2)

能使這拋物線方程為y²＝10x的條件是　　　　 ．(要求填寫合適條件的序號)

解析：(1)設(shè)拋物線上一點為(m，－m²)，該點到直線的距離為，當(dāng)m=時，取得最小值為，選A；

(2)答案：②，⑤

解析：從拋物線方程易得②，分別按條件③、④、⑤計算求拋物線方程，從而確定⑤。

(3)答案：B

解析：設(shè)點Q的坐標(biāo)為(，y₀)，

由 |PQ|≥|a|，得y₀²+(－a)²≥a².

整理，得：y₀²(y₀²+16－8a)≥0，

∵y₀²≥0，∴y₀²+16－8a≥0.

即a≤2+恒成立.而2+的最小值為2.

∴a≤2.選B。

點評：拋物線問題多考察一些距離、最值及范圍問題。

3．拋物線

(1)拋物線的概念

平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。

方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)是F(,0)，它的準(zhǔn)線方程是 ；

(2)拋物線的性質(zhì)

一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：

標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
焦點坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程
范圍
對稱性	軸	軸	軸	軸
頂點
離心率

說明：(1)通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；(2)拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；(3)注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離。

2．雙曲線

(1)雙曲線的概念

平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線()。

注意：①(*)式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支(含的一支)；時為雙曲線的另一支(含的一支)；②當(dāng)時，表示兩條射線；③當(dāng)時，不表示任何圖形；④兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。

橢圓和雙曲線比較：

	橢　　　　　　　　 圓	雙　　　　 曲　　　　 線
定義
方程
焦點
注意：如何有方程確定焦點的位置！

(2)雙曲線的性質(zhì)

①范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。

②對稱性：雙曲線關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。

③頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。

令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。

1)注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的(橢圓有四個頂點)，雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。

2)實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。

④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。

⑤等軸雙曲線：

1)定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；

2)等軸雙曲線的性質(zhì)：(1)漸近線方程為： ；(2)漸近線互相垂直。

注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。

3)注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為： ，當(dāng)時交點在軸，當(dāng)時焦點在軸上。

⑥注意與的區(qū)別：三個量中不同(互換)相同，還有焦點所在的坐標(biāo)軸也變了。

1．橢圓

(1)橢圓概念

平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：()(焦點在x軸上)或()(焦點在y軸上)。

注：①以上方程中的大小，其中；

②在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓(，，)當(dāng)時表示焦點在軸上的橢圓；當(dāng)時表示焦點在軸上的橢圓。

(2)橢圓的性質(zhì)

①范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；

②對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。

所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；

③頂點：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。

所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。

同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。

由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，，，，且，即；

④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率�！�，∴，且越接近，就越接近，從而就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時，，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。

本講內(nèi)容是圓錐曲線的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是高考重點考查的內(nèi)容，在每年的高考試卷中一般有2-3道客觀題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì)，從近十年高考試題看主要考察圓錐曲線的概念和性質(zhì)。圓錐曲線在高考試題中占有穩(wěn)定的較大的比例，且選擇題、填空題和解答題都涉及到，客觀題主要考察圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法。

對于本講內(nèi)容來講，預(yù)測07年：

(1)1至2道考察圓錐曲線概念和性質(zhì)客觀題，主要是求值問題；

(2)可能會考察圓錐曲線在實際問題里面的應(yīng)用，結(jié)合三種形式的圓錐曲線的定義。