若平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)
和一條定直線
的距離之比等于一個(gè)常數(shù)
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線。其中定點(diǎn)
為焦點(diǎn),定直線
為準(zhǔn)線,
為離心率。當(dāng)
時(shí),軌跡為橢圓;當(dāng)
時(shí),軌跡為拋物線;當(dāng)
時(shí),軌跡為雙曲線。
(1)拋物線的定義:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離等于到一條定直線的距離點(diǎn)的軌跡。
其中:定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),定直線叫做準(zhǔn)線。
(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì):
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焦點(diǎn)在![]() 開口向右 |
焦點(diǎn)在![]() 開口向左 |
焦點(diǎn)在![]() 開口向上 |
焦點(diǎn)在![]() 開口向下 |
標(biāo)準(zhǔn)方程 |
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圖 形 |
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頂 點(diǎn) |
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對(duì)稱軸 |
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焦 點(diǎn) |
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離心率 |
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準(zhǔn) 線 |
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通 徑 |
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焦半徑 |
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焦點(diǎn)弦 |
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焦準(zhǔn)距 |
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(1)雙曲線的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于
)的點(diǎn)的軌跡。
第二定義:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。
其中:兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),焦點(diǎn)間的距離叫做焦距;定直線叫做準(zhǔn)線。
常數(shù)叫做離心率。
注意:與
(
)表示雙曲線的一支。
表示兩條射線;
沒有軌跡;
(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì):
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中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在![]() |
中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在![]() |
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標(biāo)準(zhǔn)方程 |
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圖 形 |
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頂 點(diǎn) |
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對(duì)稱軸 |
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焦 點(diǎn) |
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焦 距 |
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離心率 |
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準(zhǔn) 線 |
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漸近線 |
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通 徑 |
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焦半徑 |
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焦準(zhǔn)距 |
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(3)雙曲線的漸近線:
①求雙曲線的漸近線,可令其右邊的1為0,即得
,因式分解得到。
②與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是
;
(4)等軸雙曲線為,其離心率為
(1)橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)(大于
)的點(diǎn)的軌跡。
第二定義:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。
其中:兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),焦點(diǎn)間的距離叫做焦距;定直線叫做準(zhǔn)線。
常數(shù)叫做離心率。
注意:表示橢圓;
表示線段
;
沒有軌跡;
(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì):
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中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在![]() |
中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在![]() |
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標(biāo)準(zhǔn)方程 |
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參數(shù)方程 |
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圖 形 |
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頂 點(diǎn) |
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對(duì)稱軸 |
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焦 點(diǎn) |
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焦 距 |
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離心率 |
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準(zhǔn) 線 |
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![]() |
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通 徑 |
![]() ![]() |
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焦半徑 |
![]() |
![]() |
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焦點(diǎn)弦 |
![]() 僅與它的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān) |
![]() 僅與它的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)有關(guān) |
||
焦準(zhǔn)距 |
![]() |
圓錐曲線部分
17.(浙江卷12)已知為橢圓
的兩個(gè)焦點(diǎn),過
的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若
,則
=______________。
18已知菱形的頂點(diǎn)
在橢圓
上,對(duì)角線
所在直線的斜率為1.
(Ⅰ)當(dāng)直線過點(diǎn)
時(shí),求直線
的方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求菱形
面積的最大值.
16.(全國一15)在中,
,
.若以
為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)
,則該橢圓的離心率
.
15.(全國一14)已知拋物線的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為 .
14.(江西卷15)過拋物線的焦點(diǎn)
作傾角為
的直線,與拋物線分別交于
、
兩點(diǎn)(
在
軸左側(cè)),則
.
13.(江蘇卷12)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓1(
0)的焦距為2,以O(shè)為圓心,
為半徑的圓,過點(diǎn)
作圓的兩切線互相垂直,則離心率
=
.
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