Question

已知矩形ABCD中，AB=10cm，AD=4cm，作如下折疊操作．如圖1和圖2所示，在邊AB上取點M，在邊AD或邊DC上取點P．連接MP．將△AMP或四邊形AMPD沿著直線MP折疊得到△A′MP或四邊形A′MPD′，點A的落點為點A′，點D的落點為點D′．

探究：

（1）如圖1，若AM=8cm，點P在AD上，點A′落在DC上，則∠MA′C的度數(shù)為　 　；

（2）如圖2，若AM=5cm，點P在DC上，點A′落在DC上，

①求證：△MA′P是等腰三角形；

②直接寫出線段DP的長．

（3）若點M固定為AB中點，點P由A開始，沿A﹣D﹣C方向．在AD，DC邊上運動．設(shè)點P的運動速度為1cm/s，運動時間為ts，按操作要求折疊．

①求：當(dāng)MA′與線段DC有交點時，t的取值范圍；

②直接寫出當(dāng)點A′到邊AB的距離最大時，t的值；

發(fā)現(xiàn)：

若點M在線段AB上移動，點P仍為線段AD或DC上的任意點．隨著點M位置的不同．按操作要求折疊后．點A的落點A′的位置會出現(xiàn)以下三種不同的情況：

不會落在線段DC上，只有一次落在線段DC上，會有兩次落在線段DC上．

請直接寫出點A′由兩次落在線段DC上時，AM的取值范圍是　 　．

Answer 1

 

考點： 幾何變換綜合題． 

分析： （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出三角形全等，進而分析AM=A′M=8=2MN，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)得出∠A′PM=∠A′MP，再利用等角對等邊得出等腰三角形，②根據(jù)等腰三角形中邊之間的關(guān)系得出線段的長度即可；

（3）①根據(jù)勾股定理得出t的取值范圍；②利用矩形的性質(zhì)作圖進行解答．

解答： 解：（1）過點M作MN⊥DC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴MN=BC=4，

∵將△AMP沿著直線MP折疊得到△A′MP，

∴AM=A′M=8=2MN，

∴在Rt△A′MN中，∠MA′C=30°；

故答案為：30°；

（2）①∵A′P與AM是矩形ABCD的對邊CD，AB的一部分，

∴A′P∥AM，

∴∠A′PM=∠AMP，

由翻折的性質(zhì)得：∠AMP=∠A′MP，

∴∠A′PM=∠A′MP，

∴A′P=A′M，

∴△MA′P是等腰三角形；

②∵△MA′P是等腰三角形，

∴PM=AM=A′M=5，

∵DA=4，

∴DP=5﹣2=3

∴線段DP的長是3cm；

（3）①當(dāng)點P在AD上，點A′落在DC上時，如圖1所示，

過點M作MN⊥DC交DC于點N，

則四邊形AMND為矩形，DN=AM=5cm，MN=4cm，

設(shè)AP為xcm，則由翻折的性質(zhì)得：

AM=A′M=5cm，AP=A′P=xcm，

在Rt△A′MN中，A′N=cm，

∴DA′=DN﹣A′N=5﹣3=2（cm），

在Rt△A′PD中，

A′P²=A′D²+PD²，

即：x²=2²+（4﹣x）²，

解得：x=2.5，

此時t=2.5s；

當(dāng)點P在AD上，點A′落在DC上時，如圖1，

可知DP=3cm，此時，t=7s，

當(dāng)MA′與DC有交點時，t的取值范圍是：2.5≤t≤7，

②當(dāng)點A′到邊AB的距離最大時，

即A′M⊥AB時，t的值為5s，

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點A的落點A′，在以M為圓心，MA為半徑的圓上，當(dāng)圓M與線段CD有唯一交點時，如圖2所示，

此時AM=4cm，

當(dāng)圓M交線段CD于點C時，如圖3所示

AM=5.8cm，

所以：4＜AM≤5.8，

故答案為：4＜AM≤5.8