Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)與軸交于O點(diǎn)、A點(diǎn)，B為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，C為y軸上一點(diǎn)，連接BC，且BC//OA，已知點(diǎn)O（0，0），A（6，0），B（3，m），AB=.

（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的解析式.，

（2）M是CB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，求DE的最大值；

（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)F，使得以C、B、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)F坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）B（6，0），y=;(2);(3) 滿(mǎn)足條件的F點(diǎn)共3個(gè)：，，

【解析】分析：（1）運(yùn)用勾股定理求出m的值，根據(jù)題意得點(diǎn)B為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，設(shè)設(shè)拋物線(xiàn)為，即可求解；

（2）可求，設(shè)E，則D（，故DE＝，從而可得結(jié)果；

（3）設(shè)F，根據(jù)菱形的判定分三種情況進(jìn)行討論計(jì)算即可得解.

詳解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OA于G，

由A（6，0），O（0，0）知拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，

∴點(diǎn)B為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)。

∴AG=OG＝3，

∴，即，

解得，

∴B（3，6），

設(shè)拋物線(xiàn)為，過(guò)點(diǎn)B（6，0），

∴9a+6=0

∴a=-,

∴y=-(x-3)2+6=-x2+4x;

（2）可求，設(shè)E，則D（，

∴DE＝，

∴當(dāng)x=，DE最大=.

（3）設(shè)F，

①當(dāng)CD為菱形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，

∵FD∥BC，

∴

∴

解得（舍去），.

②當(dāng)BD為菱形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，

∴

∴，（舍去）

③當(dāng)BC為菱形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，D、F均在BC的垂直平分線(xiàn)上，且FP=PD，

則，則D（，則PD=3，則，，。

綜上所述，滿(mǎn)足條件的F點(diǎn)共3個(gè)：，，。