Question

6．如圖1，一座拋物線型拱橋，水面離拱頂8m，水面寬16m，如圖2，一艘船的寬度為12m，船的甲板與水面距離為1m，船上兩根高為a m的桿垂直于船的甲板，且到甲板左右兩邊的距離為2m，現(xiàn)船正面正對橋洞（船截面的中軸線與拋物線對稱軸重合時(shí)）通過該拱橋
（1）當(dāng)a=3時(shí)，該漁船是否能安全通過該拱橋？
（2）若該漁船能安全通過該拱橋，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)拋物線型拱橋方程為y=f（x）=mx²+n，代入易知點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算可知拋物線型拱橋方程，進(jìn)而比較f（-4）與4的大小關(guān)系即可；
（2）通過（1）可知，要使該漁船能安全通過該拱橋只需f（-4）≤a+1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)拋物線型拱橋方程為：y=f（x）=mx²+n，

依題意，$\left\{\begin{array}{l}{m•{8}^{2}+n=0}\\{0+n=8}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{1}{8}$，n=8，
∴拋物線型拱橋方程為：y=f（x）=-$\frac{1}{8}$x²+8，
建系如圖，則E（-6，1），A（-4，4），
∵f（-6）=$\frac{7}{2}$，f（-4）=6，
∴當(dāng)a=3時(shí)，該漁船能安全通過該拱橋；
（2）由（1）可知，要使該漁船能安全通過該拱橋，
則f（-4）≤a+1，
即a≥6-1=5，
∴a的最大值為5米．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．