Question

11．令函數(shù)f（x）=x²+ax+a-$\frac{3}{a}$（a≠0）且-1≤x≤1．
（1）當a=1時，求f（x）的取值范圍；
（2）對任意實數(shù)x，在-1≤x≤1內(nèi)始終有f（x）≤0，求a的取值范圍；
（3）當a≥2時，有實數(shù)x使得f（x）≤0．求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，函數(shù)f（x）=x²+x-2的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{1}{2}$為對稱軸的拋物線，結(jié)合x的取值范圍及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）的取值范圍；
（2）若對任意實數(shù)x，在-1≤x≤1內(nèi)始終有f（x）≤0，則$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≤0\\ f（1）≤0\end{array}\right.$，解得a的取值范圍；
（3）當a≥2時，函數(shù)f（x）在-1≤x≤1時為增函數(shù)，若有實數(shù)x使得f（x）≤0．則f（-1）≤0．解得a的取值范圍；

解答 解：（1）當a=1時，函數(shù)f（x）=x²+x-2的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{1}{2}$為對稱軸的拋物線，
∵-1≤x≤1．
∴當x=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最小值$-\frac{9}{4}$，
當x=1，函數(shù)取最大值0，
故當a=1時，f（x）∈[$-\frac{9}{4}$，0]；
（2）若對任意實數(shù)x，在-1≤x≤1內(nèi)始終有f（x）≤0，
則$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≤0\\ f（1）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-\frac{3}{a}≤0\\ 1+2a-\frac{3}{a}≤0\end{array}\right.$，
解得：a∈（0，1]；
（3）函數(shù)f（x）=x²+ax+a-$\frac{3}{a}$的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{a}{2}$為對稱軸的拋物線，
當a≥2時，函數(shù)f（x）在-1≤x≤1時為增函數(shù)，
若有實數(shù)x使得f（x）≤0．
則f（-1）≤0．即$1-\frac{3}{a}≤0$，
解得：a∈[2，3]

點評 本題考查的知識點蠅二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．