Question

5．若函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$是奇函數(shù)，則a=1，使f（x）＞3成立的x的取值范圍為（0，1）．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$是奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）在定義域內(nèi)恒成立，可得a值，進而解指數(shù)不等式可得使f（x）＞3成立的x的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$是奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x）在定義域內(nèi)恒成立，
即$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-a}$=$\frac{{2}^{x}+1}{{1-a2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$，
解得：a=1，
令f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$＞3，即1＜2^x＜2，
解得：x∈（0，1），
故答案為：1，（0，1）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，是解答的關鍵．