Question

9．設(shè)E，F(xiàn)分別是正方形ABCD中CD、AB邊的中點(diǎn)，將△ADC沿對角線AC對折，使得直線EF與AC異面，記直線EF與平面ABC所成角為α，與異面直線AC所成角為β，則當(dāng)tanβ=$\frac{1}{2}$時(shí)，tanα=（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{16}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{51}}{17}$
• D． $\frac{\sqrt{57}}{19}$

Answer 1

分析 連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，過O作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出tanα．

解答 解：連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，過O作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
過D′H⊥平面ABCD，交BD于H，設(shè)正方形ABCD邊長為2，設(shè)OH=a，
則OD=OA=OC=$\sqrt{2}$，D′H=$\sqrt{2-{a}^{2}}$，
則A（0，-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}，0，0$），C（0，$\sqrt{2}$，0），D′（-a，0，$\sqrt{2-{a}^{2}}$），
E（-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
$\overrightarrow{AC}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{2}-a}{2}$，-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$），
∵直線EF與平面ABC所成角為α，與異面直線AC所成角為β，則當(dāng)tanβ=$\frac{1}{2}$，
∴cosβ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{2}•\sqrt{3-\frac{\sqrt{2}}{2}a}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{4}$），
∵平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴sinα=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{|-\frac{\sqrt{6}}{4}|}{\sqrt{\frac{5}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$，
∴tanα=$\frac{\sqrt{51}}{17}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查空間角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．