Question

5．已知等比數(shù)列{a_n}（n=1，2，3，…）滿足a₃=4，a₆=32．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)等差數(shù)列{b_n}滿足b₂=1，b₄=a₁+a₃，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可的．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q．∵a₃=4，a₆=32．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=4}\\{{a}_{1}{q}^{3}=32}\end{array}\right.$，解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b₁，公差為d．
∵b₂=1，b₄=a₁+a₃，
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{1}+d=1}\\{_{1}+3d=1+4}\end{array}\right.$，解得d=2，b₁=-1．
∴b_n=-1+2（n-1）=2n-3．
∴a_n+b_n=2^n-1+（2n-3）．
∴數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{n（-1+2n-3）}{2}$=2ⁿ-1-2n+n²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．