Question

11．根據(jù)要求證明下列各題：
（1）用分析法證明：$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞\sqrt{6}-\sqrt{5}$；
（2）用反證法證明：1，$\sqrt{2}$，3不可能是一個等差數(shù)列中的三項．

Answer 1

分析 （1）利用分析法的步驟進行證明；
（2）利用反證法的步驟進行證明．

解答 解：（1）要證：$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞\sqrt{6}-\sqrt{5}$；即證：$\sqrt{3}+\sqrt{5}$＞$\sqrt{2}+\sqrt{6}$；
即證：（$\sqrt{3}+\sqrt{5}$）²＞（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）²；即證：8+2$\sqrt{15}$＞8+2$\sqrt{12}$；
即證：$\sqrt{15}$＞$\sqrt{12}$；即證：15＞12；
而15＞12顯然成立，且以上各步皆可逆，
所以：$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞\sqrt{6}-\sqrt{5}$；
（其他方法參照給分）
（2）假設1，$\sqrt{2}$，3是某一個等差數(shù)列中的三項，且分別是第嗎m，n，k項（m，n，k∈N^•），
則數(shù)列的公差d=$\frac{\sqrt{2}-1}{n-m}=\frac{3-1}{k-m}$，
則$\sqrt{2}-1$=$\frac{2（n-m）}{k-m}$，
因為m，n，k∈N^•，所以n-m，n，k-m∈N^•，所以$\frac{2（n-m）}{k-m}$為有理數(shù)，
所以$\sqrt{2}-1$是有理數(shù)，這與$\sqrt{2}-1$是無理數(shù)相矛盾．
故假設不成立，所以1，$\sqrt{2}$，3不可能是某等差數(shù)列的三項．

點評 本題主要考查命題的證明，利用分析法和反證法是解決本題的關鍵．注意反證法的步驟．