Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，上頂點為B，右頂點為A，M為橢圓上一點，滿足MF⊥FA，如果△OMA（O為原點）的面積是△OMB的面積的2倍，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由題意可得F（c，0），A（a，0），B（0，b），由MF⊥FA，可令x=c，代入橢圓方程可得M的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式，可得b=2c，結(jié)合離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得結(jié)論．

解答 解：由題意可得F（c，0），A（a，0），B（0，b），
由MF⊥FA，可令x=c，代入橢圓方程可得
y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有M（c，±$\frac{^{2}}{a}$），
由于S_△OMA=2S_△OMB，
即有$\frac{1}{2}$•a•$\frac{^{2}}{a}$=2•$\frac{1}{2}$bc，
化簡可得b=2c，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$
=$\frac{c}{\sqrt{5}c}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．