Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），x∈R．
（I）求函效f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]時，方程f（x）=k恰有兩個不同的實數(shù)根．求實數(shù)k的取值范圍；
（3）將函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后所得函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點中心對稱，求m的最小值．

Answer 1

分析 （I）由條件利用余弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性得出結(jié)論．
（2）根據(jù)余弦函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得k的范圍．
（3）由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性，求得m的最小正值．

解答 解：（I）對于函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）當x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]時，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，結(jié)合f（x）的圖象，
可得方程f（x）=k恰有兩個不同的實數(shù)根時，
f（x）的圖象和直線y=k有2個交點，數(shù)形結(jié)合求得求實數(shù)0≤k＜$\sqrt{2}$．

（3）將函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后，
所得函數(shù)g（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-2m-$\frac{π}{4}$）的圖象關(guān)于原點中心對稱，
∴2m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即 m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
故m的最小值為$\frac{π}{8}$．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，余弦函數(shù)的圖象特征，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．