Question

2．已知f（log_ax）=x-$\frac{k-1}{x}$（k∈R），且函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，其中a＞0，且a≠1．
（1）求k的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結論；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$時，不等式f（a^2x+a^-2x）+f（ma^-x-ma^x）＞0對任意x∈[1，+∞）均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x），利用函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，求k的值；
（2）求導數(shù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）不等式f（a^2x+a^-2x）+f（ma^-x-ma^x）＞0對任意x∈[1，+∞）均成立，等價于不等式2^2x+2^-2x＞m2^x-m2^-x，對任意x∈[1，+∞）均成立，分離參數(shù)，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）令t=log_ax，則x=a^t，∴f（t）=a^t-（k-1）a^-t，
∵函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴a^-x-（k-1）a^x=-a^x+（k-1）a^-x，
∴k-1=1，
∴k=2；
（2）f（x）=a^x-a^-x，
∴f′（x）=lna（a^x+a^-x），
a＞1，lna＞0，f′（x）＞0，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；0＜a＜1，lna＜0，f′（x）＜0，函數(shù)在R上單調(diào)遞減；
（3）f（1）=$\frac{3}{2}$時，a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，∴a=2，函數(shù)在R上單調(diào)遞增．
不等式f（a^2x+a^-2x）+f（ma^-x-ma^x）＞0對任意x∈[1，+∞）均成立，等價于不等式2^2x+2^-2x＞m2^x-m2^-x，對任意x∈[1，+∞）均成立，
設2^x-2^-x=t（t≥$\frac{3}{2}$），則2^2x+2^-2x=t²+2，∴m＜t+$\frac{2}{t}$，
∵t≥$\frac{3}{2}$，∴t+$\frac{2}{t}$≥$\frac{17}{6}$，
∴m＜$\frac{17}{6}$．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．