Question

8．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρsin²θ=4cosθ，曲線D的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=2t-5}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將曲線D的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）設(shè)曲線C與曲線D交于A，B，求向量$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．曲線D的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=2t-5}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=9}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：y²-2y-18=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，化為y²=4x．
曲線D的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=2t-5}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為2x-y=9．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=9}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：y²-2y-18=0，
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-18．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1}{16}（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}$+y₁y₂=$\frac{1}{16}×1{8}^{2}-18$=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線相切交問(wèn)題、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．