Question

3．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線過點(diǎn)（2，$\sqrt{3}$），且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y²=4$\sqrt{7}$x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程易得其準(zhǔn)線方程，從而可得雙曲線的左焦點(diǎn)，再根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程漸近線方程，得a、b的另一個(gè)方程，求出a、b，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由題意，$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵拋物線y²=4$\sqrt{7}$x的準(zhǔn)線方程為x=-$\sqrt{7}$，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y²=4$\sqrt{7}$x的準(zhǔn)線上，
∴c=$\sqrt{7}$，
∴a²+b²=c²=7，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．