Question

18．若實(shí)數(shù)x，y，m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（Ⅰ）比較log₂0.6與2^0.6哪一個(gè)遠(yuǎn)離0；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）的定義域$D=\left\{{x\left|{x≠\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，k∈Z}\right.}\right\}$，任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值，寫出函數(shù)f（x）的解析式以及f（x）的三條基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

Answer 1

分析 （I）利用${log_2}\frac{5}{3}＜{2^{0.6}}$，即可得出．
（Ⅱ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sinx，x∈（kπ+\frac{π}{4}，kπ+\frac{3π}{4}）（k∈Z）\\ cosx，x∈（kπ+\frac{3π}{4}，kπ+\frac{5π}{4}）（k∈Z）.\end{array}\right.$，可得f（x）的性質(zhì)：奇偶性，周期性，單調(diào)性，最值，進(jìn)而得出．

解答 解：（Ⅰ）$|{log_2}0.6-0|=|{log_2}0.6|={log_2}\frac{5}{3}，|{2^{0.6}}-0|=|{2^{0.6}}|={2^{0.6}}$．（1分）
∵$0＜{log_2}\frac{5}{3}＜1，1＜{2^{0.6}}＜2$，（2分）
∴${log_2}\frac{5}{3}＜{2^{0.6}}$，
∴$|{log_2}0.6-0|＜|{2^{0.6}}-0|$，
∴2^0.6比log₂0.6遠(yuǎn)離0．（3分）
（Ⅱ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sinx，x∈（kπ+\frac{π}{4}，kπ+\frac{3π}{4}）（k∈Z）\\ cosx，x∈（kπ+\frac{3π}{4}，kπ+\frac{5π}{4}）（k∈Z）.\end{array}\right.$（5分）f（x）的性質(zhì)：
①f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
②f（x）是周期函數(shù)，最小正周期T=2π；
③f（x）在區(qū)間$（{2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{π}{2}}]，[{2kπ+π，2kπ+\frac{5π}{4}}），[{2kπ+\frac{3π}{2}，2kπ+\frac{7π}{4}}）$，$（{2kπ+\frac{7π}{4}，2kπ+2π}]（k∈Z）$單調(diào)遞增，
f（x）在區(qū)間$[{2kπ，2kπ+\frac{π}{4}}）$，$[{2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{4}}），（{2kπ+\frac{3π}{4}，2kπ+π}]$，$（{2kπ+\frac{5π}{4}，2kπ+\frac{3π}{2}}]$（k∈Z）單調(diào)遞減；
④當(dāng)x=2kπ或$x=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$時(shí)，f（x）有最大值1，
當(dāng)x=2kπ+π或$x=2kπ+\frac{3π}{2}（k∈Z）$時(shí)，f（x）有最小值-1．（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義“x比y遠(yuǎn)離m”、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．