Question

2．求函數(shù)y=2${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}+2x}}$的定義域、值域及單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出x的范圍即可；結(jié)合復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的值域問(wèn)題．

解答 解：①由題意得：-x²+2x≥0，
解得：0＜x＜2，
∴函數(shù)的定義域是（0，2），
②令g（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
對(duì)稱軸x=1，g（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，
∴g（x）_最大值=g（1）=1，g（x）_最小值=g（0）=g（2）=0，
∴x=1時(shí)，y的最大值是2，x=0時(shí)：y的最小值是1，
∴函數(shù)的值域是[0，1]；
③由②得：函數(shù)y=2${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}+2x}}$在（0，1）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是一道基礎(chǔ)題．