Question

19．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n+6，n∈N^*
（1）求證：數(shù)列{a_n+2}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{（-1）ⁿna_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n+1=4a_n+6變形可知a_n+1+2=4（a_n+2），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n+2}是首項、公比均為4的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知（-1）ⁿna_n=（-1）ⁿ⁺¹（2n）+n（-4）ⁿ，通過分類討論可知數(shù)列{（-1）ⁿ⁺¹（2n）}的前n項和，利用錯位相減法計算可知數(shù)列{n（-4）ⁿ}的前n項和，進(jìn)而相加即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=4a_n+6，
∴a_n+1+2=4（a_n+2），
又∵a₁+2=2+2=4，
∴數(shù)列{a_n+2}是首項、公比均為4的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知a_n+2=4ⁿ，即a_n=-2+4ⁿ，
∴（-1）ⁿna_n=（-1）ⁿn（-2+4ⁿ）=（-1）ⁿ⁺¹（2n）+n（-4）ⁿ，
記數(shù)列{（-1）ⁿ⁺¹（2n）}、{n（-4）ⁿ}的前n項和分別為A_n、B_n，
當(dāng)n為奇數(shù)時，A_n=（2-4）+…+[2（n-2）-2（n-1）]+2n=-2•$\frac{n-1}{2}$+2n=n+1；
當(dāng)n為偶數(shù)時，A_n=（2-4）+…+[2（n-1）-2n]=-2•$\frac{n}{2}$=-n；
∴A_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+1，}&{n為奇數(shù)}\\{-n，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∵B_n=1•（-4）¹+2•（-4）²+…+n•（-4）ⁿ，
-4B_n=1•（-4）²+2•（-4）³+…+（n-1）•（-4）ⁿ+n•（-4）ⁿ⁺¹，
∴5B_n=（-4）¹+（-4）²+（-4）³+…+（-4）ⁿ-n•（-4）ⁿ⁺¹
=$\frac{-4[1-（-4）^{n}]}{1-（-4）}$-n•（-4）ⁿ⁺¹
=-$\frac{4}{5}$-$\frac{1+5n}{5}$•（-4）ⁿ⁺¹，
∴B_n=-$\frac{4}{25}$-$\frac{1+5n}{25}$•（-4）ⁿ⁺¹，
又∵S_n=A_n+B_n，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+1-\frac{4}{25}-\frac{1+5n}{25}（-4）^{n+1}，}&{n為奇數(shù)}\\{-n-\frac{4}{25}-\frac{1+5n}{25}（-4）^{n+1}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．