Question

19．中國女子乒乓球隊參加某團體項目決賽，已知團體賽采用“五局三勝”制，第一、二、四、五局為單打，第三局為雙打，且一個隊由三名運動員組成，每名運動員出場兩次，根據(jù)歷次大型比賽的統(tǒng)計，中國女子乒乓球隊單打獲勝的概率為$\frac{3}{5}$，雙打獲勝的概率為$\frac{3}{4}$，若在決賽的第一局中，由于中國隊選手準(zhǔn)備不夠充分，輸?shù)袅诉@一局．
（1）求中國女子乒乓球隊奪得團體冠軍的概率；
（2）設(shè)決賽中比賽總的局數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．（兩問均用分數(shù)作答）

Answer 1

分析 （1）中國女子乒乓球隊奪得團體冠軍的可能性為：連勝三局、第二局負三、四、五局勝、第二局勝第三局負第四、五局勝、第二、三局勝第四局負第五局勝，由此能求出中國女子乒乓球隊奪得團體冠軍的概率．
（2）由已知得ξ的所有可能取值為3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）中國女子乒乓球隊奪得團體冠軍的可能性為：連勝三局、第二局負三、四、五局勝、第二局勝第三局負第四、五局勝、第二、三局勝第四局負第五局勝，
∴中國女子乒乓球隊奪得團體冠軍的概率：
P=$\frac{3}{5}×\frac{3}{4}×\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{4}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{27}{50}$．
（2）由已知得ξ的所有可能取值為3，4，5，
P（ξ=3）=$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{25}$，
P（ξ=4）=$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{50}$，
P（ξ=5）=1-$\frac{1}{25}-\frac{9}{50}$=$\frac{39}{50}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	3	4	5
P	$\frac{1}{25}$	$\frac{9}{50}$	$\frac{39}{50}$

∴Eξ=$3×\frac{1}{25}+4×\frac{9}{50}+5×\frac{39}{50}$=$\frac{237}{50}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．