3.設(shè)f(x)=|x+1|+|ax+1|
(1)若f(-1)=f(1),f(-$\frac{1}{a}$)=f($\frac{1}{a}$)(a∈R且a≠0),試求a的值;
(2)設(shè)a>0,求f(x)的最小值.

分析 (1)由題意可得|1-a|=2+|a+1|,|1-$\frac{1}{a}$|=|1+$\frac{1}{a}$|+2,運用絕對值不等式的性質(zhì),可得a=-1:
(2)對a討論,分a=1,0<a<1,a>1,由零點分區(qū)間的方法,去掉絕對值,運用一次函數(shù)的單調(diào)性,可得最小值.

解答 解:(1)f(-1)=f(1),f(-$\frac{1}{a}$)=f($\frac{1}{a}$),可得
|1-a|=2+|a+1|,|1-$\frac{1}{a}$|=|1+$\frac{1}{a}$|+2,
由|1-a|-|1+a|≤|(1-a)+(1+a)|=2,當(1-a)(1+a)≤0,且|1-a|≥|1+a|,
即為a≤-1,取得等號;
同理|1-$\frac{1}{a}$|-|1+$\frac{1}{a}$|≤|(1-$\frac{1}{a}$)+(1+$\frac{1}{a}$)|=2,可得$\frac{1}{a}$≤-1,取得等號.
解得a=-1;
(2)由f(x)=|x+1|+|ax+1|,a>0,
當a=1時,f(x)=2|x+1|,當x=-1時,取得最小值0;
當0<a<1時,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-2-(1+a)x,x≤-\frac{1}{a}}\\{(a-1)x,-\frac{1}{a}<x<-1}\\{2+(1+a)x,x≥-1}\end{array}\right.$,
可得當x≤-$\frac{1}{a}$,f(x)≥$\frac{1-a}{a}$;當-$\frac{1}{a}$<x<-1時,f(x)∈(1-a,$\frac{1-a}{a}$);
當x≥-1時,f(x)≥1-a.
則f(x)≥1-a,即有f(-1)取得最小值,且為1-a;
當a>1時,若x<-1時,f(x)=-2-(1+a)x,遞減,可得f(x)>-1+a;
若-1≤x≤-$\frac{1}{a}$時,f(x)=(1-a)x遞減,可得f(x)∈[$\frac{a-1}{a}$,a-1];
若x>-$\frac{1}{a}$時,f(x)=2+(1+a)x,遞增,可得f(x)>$\frac{a-1}{a}$.
即有f(x)≥$\frac{a-1}{a}$.即為f(x)的最小值為f(-$\frac{1}{a}$)=$\frac{a-1}{a}$.
綜上可得,當0<a≤1時,f(x)的最小值為f(-1)=1-a;
a>1時,f(x)的最小值為f(-$\frac{1}{a}$)=$\frac{a-1}{a}$.

點評 本題主要考查含絕對值函數(shù)的最小值的求法,注意運用零點分區(qū)間,以及一次函數(shù)的單調(diào)性,考查運算能力,屬于中檔題.

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