Question

16．已知函數(shù)$g（x）=\frac{x}{{{x^2}+ax+b}}$是奇函數(shù)，且滿足g（1）=g（4）．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若$f（x）=\frac{1}{g（x）}（x≠0）$，當x∈[2，+∞）時，函數(shù)f（x）的圖象上是否存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于x軸；
（3）對于（2）中的f（x），是否存在實數(shù)k同時滿足以下兩個條件：①不等式$f（x）+\frac{k}{2}＞0$對x∈[0，+∞）恒成立，②方程f（x）=k在x∈[-8，-1）上有解．若存在，求出實數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用g（1）=g（4）求出b的值，利用$g（x）=\frac{x}{{{x^2}+ax+b}}$是奇函數(shù)，求出a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調性，即可得出結論；
（3）分別求出滿足兩個條件的實數(shù)k的取值范圍，即可得出結論．

解答 解：（1）由g（1）=g（4）得$\frac{1}{1+a+b}$=$\frac{4}{16+4a+b}$，解得b=4，
由$g（x）=\frac{x}{{{x^2}+ax+b}}$是奇函數(shù)，g（-x）+g（x）=0得2a=0，
∴a=0；          （5分）
（2）由（1）知，f（x）=x+$\frac{4}{x}$，函數(shù)f（x）在區(qū)間x∈[2，+∞）單調遞增，
∴不存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于x軸；（9分）
（3）對于條件①：
由（2）可知函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值f（2）=4  （10分）
故若$f（x）+\frac{k}{2}＞0$對x∈（0，+∞）恒成立，
則需4＞-$\frac{k}{2}$，∴k＞-8；                  （11分）
對于條件②：由（2）可知函數(shù)f（x）在（-∞，-2）單調遞增，在[-2，0）單調遞減，
∴函數(shù)f（x）在[-8，-2]單調遞增，在[-2，-1]單調遞減，（12分）
又f（-8）=-10，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
∴函數(shù)f（x）在[-8，-1]上的值域為[-10，-4]，（13分）
若方程f（x）=k在[-8，-1]有解，則需-10≤k≤-4，
若同時滿足條件①②，則需-10≤k≤-4．
故當-10≤k≤-4時，條件①②同時滿足．                 （15分）

點評 本題考查函數(shù)的性質，考查函數(shù)的單調性與值域，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．