Question

15．著名英國數(shù)學和物理學家Issac Newton（1643年-1727年）曾提出了物質(zhì)在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ₁℃，空氣的溫度是θ₀℃，tmin后物體溫度θ℃，可由公式θ=θ+（θ-θ）e^-kt（e為自然對數(shù)的底數(shù)）得到，這里k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正的常數(shù)．現(xiàn)將一個原來溫度為62℃的物體放在15℃的空氣中冷卻，1min以后物體的溫度是52℃．
（Ⅰ）求k的值（精確到0.01）；
（Ⅱ）該物體從原來的62℃開始冷卻多少min后溫度是32℃？
（參考數(shù)據(jù)：ln$\frac{37}{47}$≈-0.24，ln$\frac{27}{47}$≈-0.55，ln$\frac{17}{47}$≈-1.02）

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過將θ₁=62，θ₀=15，t=1，θ=52代入公式θ=θ+（θ-θ）e^-kt計算可知k的值；
（Ⅱ）通過（I）可知公式θ=15+47e^-0.24t，令θ=32計算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，θ₁=62，θ₀=15，當t=1時，θ=52，
于是52=15+（62-15）e^-k，
化簡得：k=-ln$\frac{37}{47}$，
∵ln$\frac{37}{47}$≈-0.24，
∴k=0.24；
（Ⅱ）由（I）可知θ=15+47e^-0.24t，
∴當θ=32時，32=15+47e^-0.24t，
解得：t=4.2．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于基礎題．