Question

15．著名英國(guó)數(shù)學(xué)和物理學(xué)家Issac Newton（1643年-1727年）曾提出了物質(zhì)在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是θ₁℃，空氣的溫度是θ₀℃，tmin后物體溫度θ℃，可由公式θ=θ+（θ-θ）e^-kt（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）得到，這里k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正的常數(shù)．現(xiàn)將一個(gè)原來(lái)溫度為62℃的物體放在15℃的空氣中冷卻，1min以后物體的溫度是52℃．
（Ⅰ）求k的值（精確到0.01）；
（Ⅱ）該物體從原來(lái)的62℃開(kāi)始冷卻多少min后溫度是32℃？
（參考數(shù)據(jù)：ln$\frac{37}{47}$≈-0.24，ln$\frac{27}{47}$≈-0.55，ln$\frac{17}{47}$≈-1.02）

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)將θ₁=62，θ₀=15，t=1，θ=52代入公式θ=θ+（θ-θ）e^-kt計(jì)算可知k的值；
（Ⅱ）通過(guò)（I）可知公式θ=15+47e^-0.24t，令θ=32計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，θ₁=62，θ₀=15，當(dāng)t=1時(shí)，θ=52，
于是52=15+（62-15）e^-k，
化簡(jiǎn)得：k=-ln$\frac{37}{47}$，
∵ln$\frac{37}{47}$≈-0.24，
∴k=0.24；
（Ⅱ）由（I）可知θ=15+47e^-0.24t，
∴當(dāng)θ=32時(shí)，32=15+47e^-0.24t，
解得：t=4.2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．