Question

9．設(shè)$n=\int_0^{\frac{π}{2}}{4sinxdx}$，則二項(xiàng)式${（{x-\frac{2}{x}}）^n}$的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是24．

Answer 1

分析 先利用定積分求出n=4，在二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值．

解答 解：∵$n=\int_0^{\frac{π}{2}}{4sinxdx}$=-4cosx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=0+4=4，則二項(xiàng)式${（{x-\frac{2}{x}}）^n}$=${（x-\frac{2}{x}）}^{4}$ 的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{4}^{r}$•x^4-r•${（-\frac{2}{x}）}^{r}$=${C}_{4}^{r}$•（-2）^r•x^4-2r，
令4-2r=0，求得r=2，可得常數(shù)項(xiàng)為 ${C}_{4}^{2}$•4=24，
故答案為：24．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．